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『円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=2、BC=2、CD=3、DA=4とする。2つの対角線ACとBDの交点をEとすると、BE:EDの比はどうなるか』という問題がありました。解説がほとんどなく、“BE:ED=△ABC:△ACD”とだけあり、解答が“1:3”となっておりました。なぜBE:EDの比が△ABCの面積と△ACDの面積の比なのかわかりません。よろしくお願いします。

A 回答 (3件)

三角形の面積の比とは関係なく、解答の1:3を導き出す方法もあります。


まず△ABEと△DCEに着目します。
 ∠AEB=∠DEC(対頂角)
 ∠BAE=∠CDE(BCの円周角)
二角が等しいので
 △ABE∽△DCE
 AB:DC=2:3から
 BE:CE=2:3
次に△CBEと△DAEに着目します。
 ∠CEB=∠DEA(対頂角)
 ∠BCE=∠ADE(ABの円周角)
二角が等しいので
 △CBE∽△DAE
 CB:DA=2:4=3:6から
 CE:DE=3:6
したがって
 BE:CE:DE=2:3:6
 BE:DE=2:6=1:3となります。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
返事が遅れてしまってすみません。
大変参考になりました。ありがとうごございます。

お礼日時:2007/10/22 03:23

BE:ED=△ABE:△ADE


BE:ED=△CBE:△CDE

ここまではいいですか?
(高さが共通の三角形の面積比は、底辺の比に等しい)

あとは、加えてみれば分かることでしょう。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
参考になりました。

お礼日時:2007/10/14 03:12

まず、B,DからACに垂線をおろし、それぞれの交点をP,Qとします。


ここで、△BEP∽△DEQですから、BP:DQ=BE:DE
三角形の面積比は底辺を共有しているので高さで決まります。
△ABC:△ACD=BP:DQ=BE:DE

△ABC=2・2・1/2・sin∠ABC
△ACD=3・4・1/2・sin∠ADC

sin∠ABC=sin∠ADC だから△ABC:△ACD=1:3

ゆえに、BE:BD=1:3
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
底辺を共有している、垂線をおろす、がポイントなのですね。大変参考になりました。ありがとうございます。

お礼日時:2007/10/14 03:11

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