三乗根ω

三乗根ωの性質の理由が分からないので教えてください。
x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)を使って考えるらしいです。


w^2+w+1=0
w━(ωバー,集合とかに出てくるバー)=w^2=1/w
w*w━=1

以上の3つをお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： YQS02511 回答日時： 2007/10/15 22:31

こんにちは。

x^3=1は、y軸を虚軸としてあつかう複素数平面（ガウス平面）で作図すると正三角形がきれいに描けます。見事です。ぜひ描いてみてください。
で、意味は３乗して１となる数ですよね。暗算でx=1はでてきます。1を3乗すると1ですから。
この3乗根は、_3√1（1の3乗根）=1
で記号であらわせます。
また、記述ある因数分解した公式で考えてみます。
x^3=1
x^3-1=0
(x-1)(x^2+x+1)=0
x=1,x^2+x+1=0から解の公式で、x=-1±√3i/2となります。
ここで,この複素数解のどちらか１つをωと置くのです。
ω=-1+√3i/2とおくと、ω^2=(1-2√3i-3)/4=-1-√3i/2
と計算でき他方の解となります。
これらかも容易に
ω^2+ω+1=0が出てきます。
共役な複素数ωバーとおくとつまりはω^2と一致します。
またω^3=1からω^2=1/ωも成り立っています。
ω^3=1
ω×ω^2=1　かきかえて　ω×ωバー=1
ということです。
ωやオメガで検索したり、高次方程式などみると面白いと思います。
円周等分分割方程式？でしたか？あいまいです。

No.4 回答者： key-boy 回答日時： 2007/10/16 02:34

x^3=1

は円周を３等分して
θ＝０,±2/3π（０°,±120°）
ω＝cosθ＋isinθ　に代入しても求められます。

この回答への補足

皆さんありがとうございます。

では大学受験において一応覚えておいたほうがいいのですよね。

補足日時：2007/10/16 13:45

No.2 回答者： info22 回答日時： 2007/10/15 20:27

＞w━(ωバー)

これを「ω~」と書くことにします。

x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0　…(1)
x=1以外の虚数根の１つをωとおくとωは次の方程式の解である。
x^2+x+1=0　…(2)
x=ωを(1),(2)に代入すると
ω^3-1=0　…(3)
ω^2+ω+1=0　…(4)

(2)から
ω=(-1+i√3)/2,ω~=(-1-i√3)/2　…(5)
ωとω~は共役複素数の関係にある。
ωとω~は(2)の解であるから
解と係数の関係から
ω+ω~=-1　…(6)
ω*ω~=1　…(7)
(6)から
1+ω=-ω~
(4)に代入
ω^2-ω~=0
∴ω~=ω^2　…(8)
(7)から
ω~=1/ω　…(9)
(8)と(9)から
ω~=ω^2=1/ω　…(10)

(4),(10),(7)が求める式ですね。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2007/10/15 20:07

ωがω^3 = 1 かつ ω≠1 であることから, ちょっと考えればわかるはず.

例えば, ω-1 ≠ 0 だから ω^3 - 1 = 0 の両辺を ω-1 で割れるよね.