No.5
- 回答日時:
「三角形の合同」による方法が、あまりに簡単なので、なぜわざわざ面倒な方法を選びたいのか、理解できません。
この回答への補足
あ、なんか 打ち間違えてる。ごめんなさい。
「言えないんじゃないですかねぇ?」と書きたかったです。
最後の1文も読み返すとなんか責めてるっぽくも読めますが、純粋に疑問の意味で書きました。
弦が等しければ、円周とぶつかっている2点から
中心からの距離が等しくなるように弧を描いたら1通りにしか書けないので、「弧が等しくなる」と言ってもいいかもしれません。
ありがとうございます。
三角形の合同が言えても弧が等しいとは 言えないんじゃないですけねぇ。
いや、確かに明らかに等しいんですが。。。
教科書で、
「中心角が等しければ弦の長さは等しい」という定理は
「中心角が等しければ弧の長さは等しい」という定理の後に出てきます。
おっしゃる方法で証明するなら順番が逆になっているんじゃないですか?
No.4
- 回答日時:
弧の長さ・角度をどう定義しますか?
角度は、分度器からも、弧度法からも分かるように、弧の長さを使って定義します。
その際、基礎となるのは上の定理です。
ですから今は、「角度」はまだ定義されていない、という前提で話を進めねばなりません。
※ちなみに初等幾何における「角」の定義とは、「ある一点を端点とする二つの半直線のつくる図形」です。
さて弧の長さですが、これは厳密には、極限を使って定義するしかないでしょうが、初等幾何にそれを持ち込むのは、無理が過ぎます。
だから、定量的な初等幾何は、どうしても直観的な部分がふくまれるんですね。
定量的な初等幾何では、「どんな曲線もピンとまっすぐに伸ばすことができ、その長さが一意的に決まる」という直観が、大前提となっています。
その上で話を進めます。
まず、
(1)円をその中心の回りに回転させても、もとの円とぴったり重なること。
(2)半径の等しい二つの円は合同であること
は、無条件で使わせて頂きます。(これらも証明できますが、このくらい自明とさせて下さい)
※回転移動の定義には、先の「角」の定義で十分です。「角度」の定義は必要ありません。
すると、半径が等しい円Oと円O’において、
円O上の弧ABと、円O’上の弧CDに対して、(A→BとC→Dの回転の方向は一致するように点の名前A、B、C、Dをとっておきます)
OA=O’Cより、OとO’、AとCを一致させるように平行・回転移動をします。
すると、二つの円の半径は等しいですから、円Oと円O’は完全に一致します。
すると、B、Dの位置によって、弧ABの長さと、弧CDの長さに違いが出てくるわけです。
(弧ABが弧CDを含めば、弧ABの長さ>弧CDの長さ、など)
さて、弧ABの長さと弧CDの長さが等しい場合、点Bと点Dは一致します。
よって線分OBとO’Dも一致しますので、扇形OABと扇形O’CDは一致します。(証明終)
上の(1)(2)の証明は、考えてみて下さい。
ははぁー、なるほど。かなり勉強になりました。
確かに上記の(1)(2)が成り立てばOKそうです。
全く見当外れかもしれませんが一応考えてみました。
(1) 円というのはある1点Oから等距離にある点の集まりである。
円周上に任意の点AとBを取った時、OA=OB
つまり 円を回転させても元の円と一致する。
(2) (1)とほぼ同じ考えでできないでしょうか?
(1)が合っていればいいんですが(笑)
↑もしこれが違っているとしても、「円とは何だったか」ということを
考え直せただけでも ちょっと前進した気分になりました。
No.3
- 回答日時:
中心角の定義そのものなので、どうしてこれが「定理」になっているのか?という質問が正しいのではないかと思います。
どのような定義と公理系でその教科書が幾何の体系を説明しているのか、に依存します。(そんな前提条件は普通明示していないかも知れませんが)
定規とコンパスでは円周上の「長さ」を直接指定することは出来ないと思います。つまり、「同一円周上の同じ中心角に対する弧の長さは等しい」として弧の長さを定義し、「弧の長さ」は「中心角の大きさ」に比例すると考えるしかないのでは?
こうしてみると、弧の長さと中心角の関係は、いわゆる「鶏と卵」の関係になっているような気がします.....
定義と言われたら定義の気もしますし、でも定理といわれたら定理の気もします。(つまり何も分かってないということか)
「鶏と卵」の関係っぽいというのは分かります。
なんか不思議です。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 『弧は弦より長し』 8 2022/04/18 10:23
- 数学 半径4cm、中心角3分の2πの扇形について、 1.弧の長さをlを求めなさい。 2.面積Sを求めなさい 4 2023/05/31 17:41
- 数学 数学について この問題の(2)、点Eが点AからBへ動く時になぜ点A'が 点Cまで弧を書いているのかが 1 2023/04/15 00:37
- 数学 円周角の定理の「円周角の大きさはその弧に対する中心角の半分である」ということの証明には3つのパターン 5 2023/06/24 17:03
- 数学 中3 円周角の定理の問題です 3 2022/06/29 22:21
- 数学 点Oを中心とし、半径が5である円Oがある。この円周上に2点A、B をAB=6となるようにとる。また、 5 2023/08/16 23:32
- 数学 円周の近似値について。 次の方法で円周の近似値を求めました。 1.中心角が360/nの扇形を考える。 7 2022/08/17 20:30
- 数学 円周角の定理の証明では三つのパターンに分けて示す必要があるらしいのですが、一つのパターンでは不十分な 7 2023/06/28 08:58
- 数学 三角関数の極限を「はさみうちの原理」で考える時の不等号について 1 2022/07/22 01:13
- 数学 数学の証明問題についてです。 これらの三角形が合同(①)だから、これらの三角形も合同(②)だよ的な回 1 2022/07/22 15:23
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
スカラー場とベクトル場
-
素数の積に1を加算すると素数で...
-
婿養子です、妻と離婚して妻の...
-
証明終了の記号。
-
数学の証明問題で、「証明終了」...
-
数学の「証明」のときなどの接...
-
「証明証」と「証明書」はどう...
-
なぜ独身だと養子が持てないの...
-
limx→∞ x^n/e^x=0を高校数学の...
-
3,4,7,8を使って10を作る
-
中3数学 2つの続いた整数では、...
-
(4^n)-1が3の倍数であることの...
-
1+1=2の証明って?
-
兄弟の子どもの養子縁組は可能...
-
2のn乗根で、 nを無限大に持っ...
-
「一般性を失うことはない・・...
-
元夫が彼女の存在を隠す理由
-
証明できました
-
お婿さんを貰った時の結婚式に...
-
偶数と奇数の和は奇数になるこ...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
幽霊が存在していないことを証...
-
証明終了の記号。
-
数学の証明問題で、「証明終了」...
-
数学の「証明」のときなどの接...
-
不完全微分であることの証明
-
3,4,7,8を使って10を作る
-
夫が亡くなった後の義理家族と...
-
四葉のクローバー この言葉一度...
-
「証明証」と「証明書」はどう...
-
素数の性質
-
よって・ゆえに・したがって・∴...
-
無理数って二乗しても有理数に...
-
数学Aの整数の性質について質問...
-
婿養子に入ったのに出て行けと...
-
素数の積に1を加算すると素数で...
-
中3数学 2つの続いた整数では、...
-
平面曲線
-
婿養子です、妻と離婚して妻の...
-
なぜ独身だと養子が持てないの...
-
(4^n)-1が3の倍数であることの...
おすすめ情報