中心角の定理

高2で学習する中心角の定理ですが、

「半径が同じ円上において、弧の長さが等しければ中心角も等しい。」

という定理の証明は　扇形の合同を言えばよいのでしょうか。
又、扇形が合同であるという証明はどのようにすればいいのでしょうか。（半径と弧が等しいことから明らかに合同ですが、三角形の合同とかはやたらと正確に答えさせるので、扇形だけ”明らかに”でいいのかと悩んでいます）

No.5 回答者： Ishiwara 回答日時： 2007/10/26 11:44

「三角形の合同」による方法が、あまりに簡単なので、なぜわざわざ面倒な方法を選びたいのか、理解できません。

この回答への補足

あ、なんか　打ち間違えてる。ごめんなさい。
「言えないんじゃないですかねぇ？」と書きたかったです。

最後の1文も読み返すとなんか責めてるっぽくも読めますが、純粋に疑問の意味で書きました。

弦が等しければ、円周とぶつかっている2点から
中心からの距離が等しくなるように弧を描いたら1通りにしか書けないので、「弧が等しくなる」と言ってもいいかもしれません。

補足日時：2007/10/27 01:31

この回答へのお礼

ありがとうございます。

三角形の合同が言えても弧が等しいとは　言えないんじゃないですけねぇ。
いや、確かに明らかに等しいんですが。。。

教科書で、
「中心角が等しければ弦の長さは等しい」という定理は
「中心角が等しければ弧の長さは等しい」という定理の後に出てきます。

おっしゃる方法で証明するなら順番が逆になっているんじゃないですか？

お礼日時：2007/10/27 01:21

No.4 回答者： tecchan22 回答日時： 2007/10/25 22:06

弧の長さ・角度をどう定義しますか？

角度は、分度器からも、弧度法からも分かるように、弧の長さを使って定義します。
その際、基礎となるのは上の定理です。
ですから今は、「角度」はまだ定義されていない、という前提で話を進めねばなりません。
※ちなみに初等幾何における「角」の定義とは、「ある一点を端点とする二つの半直線のつくる図形」です。

さて弧の長さですが、これは厳密には、極限を使って定義するしかないでしょうが、初等幾何にそれを持ち込むのは、無理が過ぎます。
だから、定量的な初等幾何は、どうしても直観的な部分がふくまれるんですね。

定量的な初等幾何では、「どんな曲線もピンとまっすぐに伸ばすことができ、その長さが一意的に決まる」という直観が、大前提となっています。

その上で話を進めます。

まず、
(1)円をその中心の回りに回転させても、もとの円とぴったり重なること。
(2)半径の等しい二つの円は合同であること
は、無条件で使わせて頂きます。（これらも証明できますが、このくらい自明とさせて下さい）

※回転移動の定義には、先の「角」の定義で十分です。「角度」の定義は必要ありません。

すると、半径が等しい円Ｏと円Ｏ’において、
円Ｏ上の弧ＡＢと、円Ｏ’上の弧ＣＤに対して、（Ａ→ＢとＣ→Ｄの回転の方向は一致するように点の名前Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄをとっておきます）
ＯＡ＝Ｏ’Ｃより、ＯとＯ’、ＡとＣを一致させるように平行・回転移動をします。
すると、二つの円の半径は等しいですから、円Ｏと円Ｏ’は完全に一致します。
すると、Ｂ、Ｄの位置によって、弧ＡＢの長さと、弧ＣＤの長さに違いが出てくるわけです。
（弧ＡＢが弧ＣＤを含めば、弧ＡＢの長さ＞弧ＣＤの長さ、など）

さて、弧ＡＢの長さと弧ＣＤの長さが等しい場合、点Ｂと点Ｄは一致します。
よって線分ＯＢとＯ’Ｄも一致しますので、扇形ＯＡＢと扇形Ｏ’ＣＤは一致します。（証明終）

上の(1)(2)の証明は、考えてみて下さい。

この回答へのお礼

ははぁー、なるほど。かなり勉強になりました。
確かに上記の(1)(2)が成り立てばOKそうです。

全く見当外れかもしれませんが一応考えてみました。
(1)　円というのはある1点Oから等距離にある点の集まりである。
　　　円周上に任意の点AとBを取った時、OA＝OB
　　つまり　円を回転させても元の円と一致する。
(2)　(1)とほぼ同じ考えでできないでしょうか？
　　　(1)が合っていればいいんですが（笑）

↑もしこれが違っているとしても、「円とは何だったか」ということを
　考え直せただけでも　ちょっと前進した気分になりました。

お礼日時：2007/10/27 01:18

No.3 回答者： ringouri 回答日時： 2007/10/25 21:48

中心角の定義そのものなので、どうしてこれが「定理」になっているのか？という質問が正しいのではないかと思います。

どのような定義と公理系でその教科書が幾何の体系を説明しているのか、に依存します。（そんな前提条件は普通明示していないかも知れませんが）

定規とコンパスでは円周上の「長さ」を直接指定することは出来ないと思います。つまり、「同一円周上の同じ中心角に対する弧の長さは等しい」として弧の長さを定義し、「弧の長さ」は「中心角の大きさ」に比例すると考えるしかないのでは？

こうしてみると、弧の長さと中心角の関係は、いわゆる「鶏と卵」の関係になっているような気がします.....

この回答へのお礼

定義と言われたら定義の気もしますし、でも定理といわれたら定理の気もします。（つまり何も分かってないということか）

「鶏と卵」の関係っぽいというのは分かります。
なんか不思議です。

お礼日時：2007/10/27 01:10

No.2 回答者： mikuru-a 回答日時： 2007/10/25 19:04

弧の長さは２πr×（θ/360°）であらわせることを使えばいいのではないのでしょうか。

扇形の合同ではないと思いますよ。

この回答への補足

NO６さんの間違いです。　間違いが多くて申し訳ないです。

補足日時：2007/10/27 01:37

この回答へのお礼

あ、確かに・・・

と思ったのですが、他の人に聞いたりNO５さんが言ってらっしゃるように、
２πr×（θ/360°）は中心角の定理が正しいという前提での式のようです。
（指摘あってるかな？汗）

私の頭もグルグルしちゃってます。

お礼日時：2007/10/27 01:07

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2007/10/25 19:02

どうなんでしょうね. SI 的には「角度」の定義から自明なんだけど.

この回答へのお礼

ありがとうございました。
「SIって？」と思い調べてみました。
勉強になりました。なんか、面白いですねぇ。(?)

お礼日時：2007/10/27 01:02