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大学1年です。

今、二変数関数の陰関数の極値問題をやっていて分からない事が生じたので質問させていただきます。

だいたいの部分は理解できたのですが、一つだけ分からない所で

「点x=aがf'(a)=f''(a)=0を満たす場合には、さらに高次の微分係数f^(n)(a)を調べた後に、「極値判定条件」を適用する必要がある。」

とあります。そしてその後の例題に、

「…(省略)、f'''(x)=3/2≠0となり、極値を持たない。」

と言う風になっています。(式が難しいので、具体的な数値は省略させていただきます。)

(1)なぜ、高次の微分係数を調べると極値の判定に結びつくのでしょうか?
(2)その後の極値判定条件とは何でしょうか?例題を見る限り0になると極値になり得るということでしょうか…?

よろしくお願いいたします。

A 回答 (4件)

>1)なぜ、高次の微分係数を調べると極値の判定に結びつくのでしょうか?


(2)その後の極値判定条件とは何でしょうか?例題を見る限り0になると極値になり得るということでしょうか…?

ココ↓をご覧ください。
http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/ca …

また、ヘッセ行列というものがありますが、それについてはココ↓が分かりやすいと思います。
http://sss.sci.ibaraki.ac.jp/teaching/calculus/c …
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x^2+y^2=1  なら y=±√(1ーx^2)   一変数


x^2+y^2+z^2=1  なら z=±√(1ーx^2ーy^2)    二変数
どちらの問題?
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[テイラー公式]


f(x)=f(a)+f '(a)(x-a)+(1/2!)f ''(a)(x-a)^2+(1/3!)f '''(a)(x-a)^3+o(x-a)^3
  =f(a)+0(x-a)+0(x-a)^2+(1/3!)(3/2)(x-a)^3+o(x-a)^3
  =f(a)+(1/4+o)(x-a)^3
a<x ⇒ (1/4+o)(x-a)^3>0
x<a ⇒ (1/4+o)(x-a)^3<0
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この回答へのお礼

えっと…o は何でしょうか?

あと二変数関数なのですが…。

お礼日時:2007/11/27 14:28

(1)


f(x)=(x-1)^5+1
g(x)=(x-2)^4+1
で具体的に調べて見てください。
f'(1)=f"(1)=f'''(1)=f''''(1)=0
g'(2)=g"(2)=g'''(2)=0
です。
f(1)は極値でない。g(2)は極小値です。
どう判定しますか?
判別条件は?
高次の微分係数を求めれば判別できるか、考えて見てください。
(グラフの増減表を描けばすぐ分かります。しかし2変数の場合や3変数になったら簡単にグラフが描けますか?)

(2)全ての場合(特異的なケースを含めて)に適用できる一般的な「極値判定条件」は存在すると思いますか?
出来ないなら、個別に対応するしかないでしょう。

参考URLの2変数関数のケースを見ていただけばわかると思いますが、特異なケースは個別対応として扱うこと、全てのケースに対して具体的な方法を尽くしてはいません。というより個別にその都度、適した方法を採用してやって下さい。ということでしょうね。具体的な数値を使った関数の停留点を調べることなら、計算機の数値計算で幾らでも出来ますから。

参考URL:http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/10kaisk/101 …
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この回答へのお礼

早速ありがとうございます!

十分に理解出来ましたが、なぜ教科書にこう書いてあるのかよく分かりません。もし高次の微分係数が関係ないならば、書かないと思います。

お礼日時:2007/11/27 00:41

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Q2変数関数の極値を求める問題について

微分積分の回答をお願いいたします。

関数z=f(x,y)=x^3-3xy+y^2について次の問いを求めよ
1、z=f(x,y)の偏導関数を計算し、極値の候補を求めよ、
2、z=f(x,y)の第二次偏導関数を計算し、上で求めた候補が極値かどうか求めよ、
また、極値ならば極大か極小か吟味せよ。

回答をお願いいたします。

Aベストアンサー

関数z=f(x,y)=x^3-3xy+y^2 
1、
z=f(x,y)の

偏導関数
 fx=3x^2-3y, fy=-3x+2y
連立方程式
 fx=fy=0
を解いて極値の候補点(停留点)を求めると
 (x,y)=(0,0),(3/2,9/4)
極値の候補
 f(0,0)=0,
 f(3/2,9/4)=-27/16

2、
fxx=6x, fyy=2, fxy=fyx=-3
detH(x,y)=6x*2-(-3)^2=12x-9
(x,y)=(0,0)の時 detH(0,0)=-9<0より 鞍点 
(x,y)=(3/2,9/4)の時 detH(3/2,9/4)=9>0,fxx(3/2,9/4)=9>0より 極小値f(3/2,9/4)=-27/16を取る。


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