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任意の実数xについて、なぜ|sinx|≦|x|は成立するのでしょうか?
証明の仕方を教えていただきたいです。よろしくお願いします。

A 回答 (2件)

 絶対値がついていますが、x≧0 の範囲で証明できればOKでしょう。



 f(x)=x-sinx  とおきます。

 まず f(0)=0 ……(1) がいえます。

次に f'(x)=1-cosx で、
cosx≦1 なので f'(x)≧0 ですから、
f(x) は広義の単調増加関数 ……(2) です。

(1)(2)より、x≧0 の範囲で f(x)≧0 つまり x-sinx≧0
 
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大学生かな?だとしたら考え方はわかるんだけど…。



sinxが正である条件ってことは、全波整流波形、つまり全部の点がx軸よりy軸方向に0またはプラスになっている状態ですね。

で、比較対象のy=|x|のグラフはやはりy軸方向にプラス。よって、議論する点はx=0の点より+方向、-方向の正弦波がピークを迎える点まで。理由はその点より先のy=xのグラフはy=1よりも大きくなってsinxのグラフに共有点を持たないからです。sinxはどう頑張ってもy=1が最大値ですので。

ここで、第1のピークまでがどうなっているか、を調べればいいんですけど、y=sinxをx=0の近傍でテイラー展開(マクローリン展開)すると、高次方程式が出てきます。5次以降の項はどんどん小さくなっていくので無視すると考慮する項は3次(第2項)まで。

sinx≒x-(1/6)x^(-3)   (1)

すると、第2項の符号は-になっているので、少なくともy=xという関数のyの値よりも小さくなっていくのがわかります。実際にグラフに書いてみてもわかるでしょう。この場合はy軸に対して対称な遇関数ですので負の方向にも等しく考えられます。

(1)の式は、原点に限りなく近いところではy=xと見なせるということです。3次の項が無視できるほど小さいと考えられるためです。
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