正規分布に関するこの問題が分かりません。誰か教えていただけないでしょうか。

「ある検査では、検査したものの35%は不合格で上位8%は優秀品として認定される。昨年の検査では、合格点が1000点満点で420点、優秀品の最低点は800点であった。検査の得点が正規分布に従うとするならば、この検査の平均点はXで、標準偏差はYである。」

お願いします。

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A 回答 (1件)

下から35%ラインが420点。


上から8%ラインが800点。

正規分布の累積確率の表はお持ちかな?標準偏差1、平均0の正規分布φ(x)を
Φ(t) = integral {x=t~∞} φ(x) dx
と積分したものがその表です。

値が8%になるところを探す。これをx1とします。
値が35%の所は?これをx2とします。
x2は上から35%の値ですから、下から35%の所の値を知るにはx0=-x2と変換しなくちゃいけません。これで
x0 が 420点
x1 が 800点
と分かりました。後は、
平均m,標準偏差σの正規分布をF(x)とするとき、
F(x) = φ((x-m)/σ)
ですから、
x0 = (420-m)/σ
x1 = (800-m)/σ
この連立方程式を解けば、mとσが分かりますね。

★満点が幾らか、なんて関係ありません。正規分布というのはxが-∞~∞まで定義されるので、1000点以上もあり得るし、0点以下もあるんです。従って、満点1000点の分布が正規分布であると仮定するのはあくまでも近似ですよ。

★余計なことですが、これは経済学じゃなく、統計学(数学)の初歩と認識された方が良いと思います。
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Q標準偏差と正規分布との関係

 各サンプル値から平均値を引き算して,2乗して全て合計して,サンプル数で割ってルートして計算される標準偏差(σ)の式が成立する条件は,元となるサンプル値が正規分布に従うことが条件となるのでしょうか?
正規分布とσとの関係の説明はよく見るのですが,σを計算する上での前提が正規分布でないといけないかどうかという内容については,いろいろ検索しましたが見つけることができませんでした。

 また,例えば対数正規分布に従う場合にはσの式が別途ありますが,どの分布にも当てはまらないランダムなサンプルの場合の標準偏差というのはどのように計算するのでしょうか?あくまでもある分布に近似的にあてはめて,その分布に対応する標準偏差の式を用いて計算するということが確率統計上常識なのでしょうか?

上記2点,超基本的なことが理解できていません。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>標準偏差(σ)の式が成立する条件は,元となるサンプル値が正規分布に従うことが条件となるのでしょうか?
標準偏差そのものは、書きこまれた式で計算されます。これは、定義ですから、分布に関係しません。正規分布とσを関連させて議論するのは、正規分布していると、σの値から、つぎのようなことが分かる(主張できる)からです。

 具体的には、偏差値で考えてみます。偏差値の平均は50で、標準偏差は10の分布をしています。偏差値70の人は、平均の50から20離れている、すなわち、2σ離れています。平均+2σ以下の人、すなわち、70以下の人は、100人だと97人ほどいると分布から分っています。すなわち、70の人は、100人中、2番か3番だろう、ということです。

 これは、サンプルが、正規分布しているから、計算できます。他の分布では、主張できません(分布曲線が分かっていれば、その式から計算可ですが)。

>ランダムなサンプルの場合の標準偏差というのはどのように計算するのでしょうか?
 標準偏差の値は、分布によらず、同じ計算式です。
その結果得たσの値から、サンプルが正規分布している場合のみ、順位など役に立つ情報が得やすいということです。

>標準偏差(σ)の式が成立する条件は,元となるサンプル値が正規分布に従うことが条件となるのでしょうか?
標準偏差そのものは、書きこまれた式で計算されます。これは、定義ですから、分布に関係しません。正規分布とσを関連させて議論するのは、正規分布していると、σの値から、つぎのようなことが分かる(主張できる)からです。

 具体的には、偏差値で考えてみます。偏差値の平均は50で、標準偏差は10の分布をしています。偏差値70の人は、平均の50から20離れている、すなわち、2σ離れています。平均+2...続きを読む

Q貸金業者の金利上限が2010年から29%→20%に

下げられた理由を教えてください

Aベストアンサー

2010年に金利は下がってないです。

 利息制限法の規定
まず、利息制限法では、「金銭を目的とする消費貸借上の利息の契約」(利息契約)は、その利息が下記の利率により計算した金額を超えるとき、その超過部分につき無効と定める(利息制限法1条1項)。
元本が10万円未満の場合:年20%
元本が10万円以上100万円未満の場合:年18%
元本が100万円以上の場合:年15%

 の規定は変更されてません


 該当と思われるの話は

 2010年(平成22年)6月18日施行の貸金業法及び出資法改正前に存在した利息制限 .... 最高裁判所判例. 事件名, 貸金請求事件. 事件番号, 平成16(受)1518. 2006年(平成18年)01月13日. 判例集


 2010年(平成22年)6月18日施行の貸金業法及び出資法改正前に存在した利息制限法に定める上限金利は超えるものの出資法に定める上限金利には満たない金利のこと。利息制限法によると、利息の契約は、同法で定められた利率を超える超過部分は無効とされている。


 最高裁での判決があってグレー金利が違法とされてた 判決が出た

2010年に金利は下がってないです。

 利息制限法の規定
まず、利息制限法では、「金銭を目的とする消費貸借上の利息の契約」(利息契約)は、その利息が下記の利率により計算した金額を超えるとき、その超過部分につき無効と定める(利息制限法1条1項)。
元本が10万円未満の場合:年20%
元本が10万円以上100万円未満の場合:年18%
元本が100万円以上の場合:年15%

 の規定は変更されてません


 該当と思われるの話は

 2010年(平成22年)6月18日施行の貸金業法及び出資法改正前に存在した利息制限 ......続きを読む

Q正規分布に従わないと標準偏差の算出は向かないでしょうか?

正規分布に従うとは、平均値の分布が多いという意味でしょうか?

日々変わるデータの点数が凸のような分布でなく、平均値付近が少ない
凹のようなデータの集合だと、標準偏差を算出し正規分布を使い
30%以下の人や70%以上の人を毎日抽出するような用途には
向かないのでしょうか?

Aベストアンサー

まず、正規分布に従うとは、「分布が正規分布のグラフと同じ形をする事」をいいます。
そのため、平均辺りが多くても△のような分布グラフだったり、
左右が対象でないと、「正規分布に従う」とは言いません。

そのため、試験の成績などは、「正規分布に近い」だけであって、
「正規分布に従っている」のではありません。

つまり、「偏差値」を使うべきかどうかは、偏差値の「分かりやすさ」と、
その分布が正規分布に近いかどうかの判断になります。



例えば、凹のようなデータでも、両端がなだらかになっていれば、そこそこ偏差値も使えます。

逆に、両端が崖のようになっていると、偏差値を使うのは控えた方がいいでしょう。
(たとえば、30点や、80点の人は多いけど、29点以下や、81点以上がいないなど)

また、分布が左右対称でない場合も、使用をやめた方がいいでしょう。
平均値と、中央値(順位が真ん中の人の値)が離れると、偏差値の感覚的な値とは
ずれてきます。



いずれにしても、ある程度のデータがあるのであれば、そのデータで
やってみるのが一番です。

出るべき結果と大きなずれがなければ、分かりやすいので使ってしまっても
いいのではないでしょうか。

試験の結果なんかでも、山が二つあったり、左右に偏っている事なんて
よくあります。

それでも、偏差値が、それなりに機能していますから、まずはやってみるのが
いいのではないかと思います。

まず、正規分布に従うとは、「分布が正規分布のグラフと同じ形をする事」をいいます。
そのため、平均辺りが多くても△のような分布グラフだったり、
左右が対象でないと、「正規分布に従う」とは言いません。

そのため、試験の成績などは、「正規分布に近い」だけであって、
「正規分布に従っている」のではありません。

つまり、「偏差値」を使うべきかどうかは、偏差値の「分かりやすさ」と、
その分布が正規分布に近いかどうかの判断になります。



例えば、凹のようなデータでも、両端がなだら...続きを読む

Q損益分岐点と操業停止点

損益分岐点はAC=MC
操業停止点はAVC=MCで求めることは解るのですが、
それぞれ何故この式で求められるのかがわかりません。よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

一般に
P = MC
が成り立ちます。これは一単位の生産にかかるコストと一単位販売することによる収入が等しいことを意味しています。これ以下の価格で販売すると損ですし、これ以上の価格で売れるのであれば更に沢山生産して価格を下げることでより儲かります。

損益分岐点では
AC = MC = P
が成り立ちます。この点では平均費用と限界収益が一致しています。この点より多く生産すると限界収益よりも平均費用が大きくなりますので、生産量を減らすことで利益を増やすことが出来ます。逆も成り立ちます。

操業停止点は
AVC = MC = P
です。一単位生産するコストよりも価格が下がると、当然誰も生産しませんよね。

Qなぜ正規分布の標準偏差は約68,26と言えるのでしょうか。

なぜ正規分布の標準偏差は約68,26と言えるのでしょうか。
標準正規分布表がそうだから、と言えば終わりですが。
それより根本的な話で。
この値は、どうやって決める事ができたのですか?
観測による当てはめ、なのか、理論的な計算、なのか。。。。
根拠を知りたいです。
文献も教えていただけると助かります。

Aベストアンサー

うーん、どこから説明すべきか悩むところですが、まず、質問自体が少し間違っていて、おそらく

正規分布において、対象が、平均±標準偏差内に含まれる確率が約68%とはなぜか?

という意味ですすめます。まず、正規分布が理解している前提でいうと、

>正規分布の式に、+標準偏差、-標準偏差を当てはめて、確率を計算すればそうなるから・・・・

ということになります。計算自体がわからない場合は、別途質問してください。この意味は、あることを実行すると、平均値に結構近い範囲に、7割ぐらい収まっちゃうもんだよ、ということで感覚に一致しないでしょうか?

それではその正規分布は、どう求めたかというと、大雑把にいうと、

>平均値を持つような対象の値を、完全にランダムに発生させた場合の理論的な値を公式化したもの

なので、観測ではなく理論値になります。平均値と、標準偏差によって、山の中心と、山のなだらかさが決まるよく知られたグラフになります。

それじゃ、全ての現象が、正規分布に従うのか・・・・

>それは違います。想定する現象が、完全にランダムで、平均値をもつような現象

という前提なので、その前提に近いような現象は、正規分布に近いと仮定して、事象を近似するのですね。よく知られた、テストの成績は、

・ 平均点は、問題の難易度で、毎回変わる。
・ 平均点を中心に、どれぐらいのばらつきがあるのかも、毎回変わる。
・ その2つさえ、考慮すれば、偏差値によって、その人の、相対的実力が図れるだろう。

ということで、偏差値を、合否の難易度の目安にするわけですね。実際には、厳密には正規分布に従わなかったり、昔はしたがっていたが、事象が複雑化して、従わなくなったり、利用する際には、数学的知識以上に、対象とする現象に対して、専門的な知識が必要になります。

うーん、どこから説明すべきか悩むところですが、まず、質問自体が少し間違っていて、おそらく

正規分布において、対象が、平均±標準偏差内に含まれる確率が約68%とはなぜか?

という意味ですすめます。まず、正規分布が理解している前提でいうと、

>正規分布の式に、+標準偏差、-標準偏差を当てはめて、確率を計算すればそうなるから・・・・

ということになります。計算自体がわからない場合は、別途質問してください。この意味は、あることを実行すると、平均値に結構近い範囲に、7割ぐらい収まっち...続きを読む

Q損益分岐点と操業停止点について

費用関数がC = X~3 -6X~2 -10X +32のとき
損益分岐点と操業停止点を求める問題なのですが
P=MC=3X~2 -12X -10
 AC=X~2 -6X -10 +32/X
 AVC=X~2 -6X -10とし
損益分岐点をP=MC=AV
操業停止点をP=MC=AVC
と求めると、それぞれ価格が負になるのですが
これは私の計算が間違っているのでしょうか?
アドバイス頂ければ幸いです。 

Aベストアンサー

計算すると確かに負になりますね。
これは前提としている費用関数がおかしいのだと思います。

費用関数C = X~3 -6X~2 -10X +32をプロットしてみればすぐわかりますが、Xが0から4.7あたりまでは右下がりとなっていますし、X>1.818ではCが負になってしまいますから。

Q幾何正規分布を描くために、幾何標準偏差が1以上でないと計算できないでしょうか。お願いいたします!

質問背景
excelを使って、幾何平均GMと幾何標準偏差GSDを使って、幾何正規分布を絵描きたいですが、
こちらの関数を使いました。
=LOGNORM.DIST(x,LN(幾何平均),LN(幾何標準偏差),FALSE)

質問
これだと、幾何標準偏差が1と1以下のデータでは、計算できなくエラーが出ます。
例えば、標本0.2、0.3、0.4、1.1の場合、幾何標準偏差が1以下になります。このような場合はどうやって母集団の分布を求めればいいでしょうか。

分かる方がいらっしゃいましたら、お願い致します!

Aベストアンサー

lognorm.distの説明です
https://support.office.com/ja-jp/article/LOGNORM-DIST-%E9%96%A2%E6%95%B0-eb60d00b-48a9-4217-be2b-6074aee6b070

幾何標準偏差ではなく、普通の標準偏差をlnしたものを利用してませんか?
それなら、lnした時にマイナスとなるため、エラーになります(幾何標準偏差が0以下ならエラーです)

とりあえず、使用方法と例の場合の各値を書いておきます
まず、各データをln関数で変換します
次に、その変換データに対してAverage関数で平均を求めます(例では-0.908597817)。これが第二引数です
さらに、変換データに対してstdevもしくはstdevp関数を使い、変換データの標準偏差を求めます(0.629744724)。これが第三引数です
普通にこれでエラーが出ずに通るはずです
(x=1.0で0.223724792と返ってきました)

Q優秀な人材がいるJALが駄目になった理由は何ですか?

優秀な人材がいるJALが駄目になった理由は何ですか?

昔は就職希望ランキングで常に上位にいた企業なのに何故経営が傾いたのでしょうか?親方日の丸の企業体質や自治体の要望に答えて採算の取れない路線まで飛行機を飛ばした事で経営に無理が出てしまった事が原因と言われているとは思います。

個人のイメージとして優秀な人材が毎年入ってくるのに何故駄目になったのかが分かりません。優秀な人材が何かしらのアイディアで企業体質の改善や経営改革をするはずだと思いました。

Aベストアンサー

優秀な人材とは、その時点における市場環境に対してもっとも適応した考え方、行動の仕方ができる人間です。
市場環境が変われば優秀さの尺度が変わる。

そして、市場環境の変化に対して、対応出来ないのは、過去の市場構造にもっとも適応した組織です。(一般的には)


企業行動のビヘイビアを壊せるのは、そうとう優秀な経営者だけで、経営立て直しをした企業はあとでだいたい「言われてみれば、そのとおりなんですよね、けど出来なかった」と評論されます。

航空業界で言えば、パンナムが破綻した段階で、(儲かる)長距離よりも、短距離を儲かるようにしなければ航空会社は生き残れないというのは、はっきりしていました。
パンナムの行動は下記の通り
1980年ナショナル航空を吸収合併して国内強化(そういえば、JASはもともと東亜国内航空だったな)
1985年太平洋路線をユナイテッドに売却

アメリカの長距離路線が成長鈍化したのにたいして、アジアは成長鈍化していなかった。
なので、JALは方向転換しづらかった。
20年くらい前の段階ですでに、ANAがJALを抜くというのはいわれていました。理由は
サービスの質が航空会社の勝負どころになる
サービスの質は、発着件数によってノウハウとして蓄積される
国内メインのANAの方が、発着件数が多いのだから、ほっておけばサービスの質が ANA>JALになる。

優秀な人材とは、その時点における市場環境に対してもっとも適応した考え方、行動の仕方ができる人間です。
市場環境が変われば優秀さの尺度が変わる。

そして、市場環境の変化に対して、対応出来ないのは、過去の市場構造にもっとも適応した組織です。(一般的には)


企業行動のビヘイビアを壊せるのは、そうとう優秀な経営者だけで、経営立て直しをした企業はあとでだいたい「言われてみれば、そのとおりなんですよね、けど出来なかった」と評論されます。

航空業界で言えば、パンナムが破綻した段階で、(...続きを読む

Q正規分布の母平均が既知、標準偏差が増加か一定のとき

正規分布の母平均が既知(可変)で、標準偏差が平均に対して増加関数である時、
(確率変数X,Yの密度関数がそれぞれfX,fY で与えられる)
fx(x)/fY(x) >= fx(y)/fY(y)  --(1)
を満たすことを証明するにはどのような方法がありますでしょうか。
数値計算よりも理論的に検証したいです。

また、母平均は既知で可変、標準偏差が一定の時も上記の関係(1式)を満たすかどうかも調べたいです。
どのように式展開をすればよいか教えてください。

よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

fXとfYは正規分布の確率密度関数ということですね。
fX(x) = (2πb^2)^(-1/2) e^{-(x-a)^2/(2b^2)}
fY(y) = (2πd^2)^(-1/2) e^{-(y-c)^2/(2d^2)}
とすると、不等式(1)は
(x-y){(b^2-d^2)(x+y)-2(cb^2-ad^2)} >= 0   (2)
に変形できます。
(私が計算間違いをしていなければですが)

(2)から、x-y > 0のときは
(b^2-d^2)(x+y) >= 2(cb^2-ad^2)
x-y < 0のときは
(b^2-d^2)(x+y) <= 2(cb^2-ad^2)
をそれぞれ満たせば良いことがわかりますが、x,yの値によっては不等式を満たさない場合があります。

他に条件はないのでしょうか?

Q損益分岐点と操業停止点について

損益分岐点と操業停止点について教えて下さい。

競争企業の利潤最大化条件:価格P=限界費用MC(完全競争市場、価格Pは一定を前提)
とされています。
仮にP>MCの高い場合は、生産増によって利潤が拡大するという点、そして逆の場合も考慮すると、上記の式が成り立つ時点まで生産すればトータルでの利潤が最大化するというのは理解できます。

しかし、その一方で損益分岐点について
P=MC=AC
とされています。

P=MCである以上、その時点の生産量では、利潤が0になりますが、上記の利潤最大化ポイントになるはずです。
そうだとすると、P=MC=ACの時点で、損益分岐点(トータル利潤が0になる地点)とすると、利潤最大化ポイントなのに、利潤が0と矛盾したことになります。

もしかすると、管理会計上の損益分岐点(固定費÷1-変動費率、損益0になる売上ポイントの算定)と混合しているのかもしれませんが、よく分からなくなってきました。

損益分岐点と操業停止点の計算式の理屈について教えて頂けますでしょうか?
ご回答よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

回答2の訂正。回答2の最後のところに

「損益分岐点生産量はAC (q) = MC(q)を解いて、q = √(F/q)であり、操業停止点生産量はAVC(q) = MC(q)を解いてq = 0であることがわかる。」

とあるが、

「損益分岐点生産量はAC (q) = MC(q)を解いて、q = √(F/c)であり、操業停止点生産量はAVC(q) = MC(q)を解いてq = 0であることがわかる。」

と直してください。

ついでですので、あなたは

「P=MCである以上、その時点の生産量では、利潤が0になりますが、上記の利潤最大化ポイントになるはずです。」

と書いていますが、

「P=ACである以上、その時点の生産量では、利潤が0になりますが、上記の利潤最大化ポイントになるはずです。」

の間違いですよね。競争企業がP = MCを満たす生産量を選択するなら、それは利潤最大化生産量だが、同時にその生産量がP=ACを満たしているなら、利潤はゼロである。利潤がゼロというこは利潤最大化と決して矛盾しない、ことを理解することは大事だ(回答1で説明したつもりだが。。。) それどころか、利潤がマイナス(つまり損失が出る)となることだって、利潤最大化と矛盾するわけではない。いま、市場価格PがACの最低値よりは低く、AVCの最低値よりは高かったとしよう。そのとき、利潤最大化(この場合は損失最小化だが。。)の条件は、やはりP = MCを満たす生産量を選択するこだ。このとき利潤はマイナスとなる(損失が発生する)が、それは競争企業にとっては、損失を最小化する(数学的には利潤最大化)という意味で最適な選択なのだ。損失が出るからといって操業を停止すると、損失はさらに大きくなるのだ!

回答2の訂正。回答2の最後のところに

「損益分岐点生産量はAC (q) = MC(q)を解いて、q = √(F/q)であり、操業停止点生産量はAVC(q) = MC(q)を解いてq = 0であることがわかる。」

とあるが、

「損益分岐点生産量はAC (q) = MC(q)を解いて、q = √(F/c)であり、操業停止点生産量はAVC(q) = MC(q)を解いてq = 0であることがわかる。」

と直してください。

ついでですので、あなたは

「P=MCである以上、その時点の生産量では、利潤が0になりますが、上記の利潤最大化ポイントになるはずです。」

と書いて...続きを読む


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