惑星は量子力学的にはどのような状態？

古典力学(解析力学)では、横軸をx,縦軸をpにとった位相空間上の１点が粒子の状態に対応します。
量子力学では,横軸はxの期待値<x>,縦軸はpの期待値<p>をとり,(x,pの測定値のばらつきを考慮して)幅がxのばらつきΔx,高さがpのばらつきΔpの楕円みたいなものを状態に対応させる感じにすれば、古典力学との対応が見やすくなると思います。

１次元調和振動子のコヒーレント状態について、このような事を考えてみると、
コヒーレント状態は、(上記の意味で)粒子の状態を表す楕円が、古典論の軌道に沿って平行移動していく状態だと見る事ができます。
なので、１次元調和振動子のコヒーレント状態は、古典論の「ばねの振動」みたいな状態になっていると解釈できると思います。

質問は、
水素原子中の電子についても、同じように「古典的な状態(特に惑星の公転)」のような振る舞いをする、量子力学的な状態は存在するのでしょうか？
存在するのであれば、エネルギー固有状態で展開したら、展開係数はどうなっているでしょうか？
という事です。

具体的には、次のような条件を満たす状態|ψ>を見つければいいと思っています。
(1) ハミルトニアンH=p^2/2m -α/rに対して、任意の演算子A(t)は,ih dA(t)/dt=[A(t),H]を満たす. (hbarを単にhと書く事にします.)
(2) 位置x(t)の期待値<x(t)>(:=<ψ|x(t)|ψ>)は,古典力学における解x(t)と厳密に一致する. (空間の軌道が2次曲線になる)
(3) 位置xや運動量pの測定値のばらつきは、時間に依存せず一定.
(4) 不確定性が最小の状態.(Δx(t) Δp_x(t)=h/2などが成り立つ)

この条件を満たすのが理想的なのですが、「古典的な状態のような状態」というイメージを崩さない限り、適当に条件を緩めても構いません。例えば、
(2') h→0の古典極限(など)で一致する.
(3') 公転周期の間にほとんど変化しない.
(3'') t→∞で有限
(4') Δx(t) Δp_x(t)≒h/2
などとしても構いません。

最も簡単であろう「xy平面上を円運動する状態」で十分なのですが,全く手がかりがない状態です。何かヒントになりそうな事でもいいので、よろしくお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： nktnystk 回答日時： 2007/12/22 00:43

eatern27さん　こんにちは。

この問題については全く知識がないのですが、以下のサイトが多少参考になるかもしれません。

参考URL：http://www.aa.alpha-net.ne.jp/t2366/ボーアの対応原理とシュレディンガーの予想.htm

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

大変参考になりました。リンクを辿っていったら、この辺の話が載っている論文が出ているらしい事を見つけたので、今度、その論文を読んでみたいと思います。

お礼が遅くなってすいませんでした。

お礼日時：2007/12/25 22:41

No.3 回答者： A-Tanaka 回答日時： 2007/12/20 22:35

こんばんは。

たぶん、「量子力学」の教科書を、後ろから読んで、ゾンマーフェルトの式を導こうとする、逆証明になるような気がします。

この辺りは、古典量子力学（高等学校）の物理か、大学教養の物理の最後の章に書かれているボーアの量子条件あたりを、古典力学として見立てて解けばよいでしょう。

No.1さんやNo.2さんの助言も参考にしてみてください。

逆読みの参考にするならば：
なるべく簡単な、量子力学の教科書が良いでしょう。
大抵の教科書は、前の章が後の章の前提となるように、書かれていますので・・・。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

ゾンマーフェルトの式と言うと、前期量子論の辺りの話ですよね。
ゾンマーフェルトの式では、確か、量子力学で言うエネルギー固有状態(定常状態)に対応するものを考えている事になりますよね。しかし、位置などの期待値が時間変化する事を考えている事から分かるように、今考えているのは(量子力学的には)定常状態ではないのですが、どのように考えればよいでしょうか？

また、調和振動子で同様の事を考えれば(考えられるとすれば)、コヒーレント状態に到達するべきだと思うのですが、ゾンマーフェルトの式とコヒーレント状態とがどう繋がるのかも分かりません。

お礼日時：2007/12/20 23:34

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2007/12/20 14:27

なんか質問のタイトルと内容が全く反対のような気がするんですが....

さておき, 「惑星の公転を量子力学的に記述」すればいいんではないかな? やったことないから知らんけど, 「惑星の公転をニュートン力学や (アインシュタインの) 相対性理論で記述したもの」と同じ結果が得られるはず.
ちなみにだけど, そこまで言ったらかわいそうでんがな＞#1. エサキダイオードとか TMR素子はトンネル効果に基づいてますぜ.

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

>「惑星の公転を量子力学的に記述」すればいいんではないかな?

量子力学的な状態を、古典力学に焼きなおすには、h→0の極限を考えるなどすればいいだけだと思いますが、
逆に古典的な状態を、量子力学に焼きなおすには、どうするのでしょうか？
つまり、(ほとんど)形が崩れずに動くような波束を考える必要があると思うのですが、どのような形を考えればよいでしょうか？

お礼日時：2007/12/20 22:45

No.1 回答者： harepanda 回答日時： 2007/12/20 05:13

なんか、物理学の根本問題に近づいているようですね。

野心的と言ってもよいかもしれません。

シュレーディンガー方程式を水素原子について解けば、議論の本質には近づくとは思います。が、電子自体を惑星のような質量として解いているわけではなく、波動として電子をとらえていますので、これを惑星の公転になぞらえるのは、無理があります。

全てのものは粒子であると同時に波動であるという原理が、もう少し日常生活の中に入り込むくらいに量子力学が発達してこないと、容易には回答できない問題だと思います。

相対性理論の場合、水星の軌道を計算するには太陽の重力で空間が歪んでいることを考慮する必要があること、GPSなど日常生活にすでに応用されていること、核分裂エネルギーを見る限り、質量と熱エネルギーは交換可能なものである等、既に仮定の理論のレベルをこえ、日常生活に入り込んでいるので、まともな物理学者であれば、相対性理論を否定することはありません。

他方、量子力学の実生活への応用ですが、量子コンピュータは研究が始まったばかりで半導体に対応するものすら、満足に存在しない状態です。また、これは通信の業界の外ではほとんど知られていない研究かと思いますが、光の波動性ではなく粒子性を用いた通信技術を、NTTが研究しています。想像していただくだけでお分かりいただけると思いますが、現行の光通信というのは、光の波動性を利用したものです。光の粒子性を利用すると、絶対に破られない暗号通信が可能なはずだ、というのがNTTの研究の基礎的な考えになっています（なにしろ、傍観者が入ると、通信結果が変わりますからね）。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

>シュレーディンガー方程式を水素原子について解けば、議論の本質には近づくとは思います。
シュレーディンガー方程式は、時間に関して１階の微分方程式なので、これを解くには初期状態を適当に選んでやる必要がありますよね。
初期状態をどんな風に選んでも、おそらく(2)の条件は満たす(少なくとも古典極限では)だろうとは思っています。しかし、本当に適当に選んでしまうと、波束(?)が、あっと言う間に広がってしまい、(3)を満たさなくなります。
軌道半径くらいまで広がるまでの時間が宇宙年齢くらいなのであれば、文句はないのですが、公転周期の数倍くらいだと「古典的な状態」とは程遠い状態だと思います。

時間が経っても波束が広がらないような状態でなければいけないのですが、具体的にどういう状態を考えれば波束が広がらないのか、検討もついていません。何かいいアイディアはあるでしょうか？

お礼日時：2007/12/20 22:45