モーメント

すいません高校物理です。
水平よりθ傾いた斜面（摩擦あり）に、高さa 底面b の直方体の物体があって、奥行き方向は無視してよく、物体の密度は均一で重心は中心にあります。
物体の質量 m 重力加速度 g です。

θをゆっくり大きくしていくと、ある傾きの角αの時に物体は滑りださずに下側に倒れた。
このときのtanαを求めよ。

という問題で、私は少し考え違いをしているようなので質問させてください。

垂直抗力をN、摩擦力をFとします。
このとき、力のつりあいより
　　N = mgcosα　　　F = mgsinα

そして、底辺の下側の方の点の周りの力のモーメントのつりあいより、

N × (b-atanα)/2 = 0

これを解いて、　tanα = b/a

とでてきます。　解答ではモーメントを使わずに、重力のベクトルが底辺を通らないところで傾くとして、図形的に解いているのですが、答えは同じです。私のやり方も正しいですか？

そして、重心の周りの力のモーメントのつりあいで考えると、

N ×　atanα/2 - F × a/2 = 0

これを解くと、　左辺が消えて0になってしまい、0 = 0　となってしまいました。
倒れる場合のモーメントは、任意の点の周りのモーメントのつりあいではなく、倒れるときの中心となる（下側の）点の周りのモーメントのつりあいしかダメなのでしょうか？


質問が長くなってしまったので、教えて頂きたいことをまとめますと、

(1)下側の点の周りのモーメントのつりあいでの解き方は正しいですか？

(2)重心の周りのモーメントのつりあいの式は間違えているのでしょうか？それとも重心の周りのモーメントのつりあいで考えることが間違えているのでしょうか？

よろしくお願いします。

No.2 回答者： htms42 回答日時： 2007/12/21 20:21

重力の作用線が直方体の底面を通るという安定条件を使わないでやろうとしてるのですね。

でも出来るでしょうか。
モーメントの釣り合いというのは回転についてです。
釣り合いの式というのは３つです。
（イ）左右の力の釣り合い（釣り合っていなければ右か左に動く）、
（ロ）上下の力の釣り合い（釣り合っていなければ上か下に動く）
（ハ）モーメントの釣り合い（釣り合っていなければ回転が起こる）
（ハ）を考えるのは（イ）（ロ）が満たされていたとしても作用線がずれていれば釣り合わないからです。

あなたの最初の式
＞N × (b-atanα)/2 = 0
についてです。
一般的に解こうとしているのですから
左回りのモーメント＞右回りのモーメント（式＊）
（斜面は左が低いとしています。）
になる条件ですね。

（ｉ）垂直抗力Ｎは左回りのモーメントになります。右回りのモーメントがあるはずです。重心にかかる重力です。右辺にＭｇについてのモーメントが必要です。
（ii）下にある点からＮまでの距離が（ｂ－ａｔａｎα）／２はどのようにして出されましたか。この式を出す段階で垂直抗力の作用点が重心の真下であるということが前提になっています。摩擦力の作用点もここです。結局物体に働く３つの力の作用点が分かっています。垂直抗力と摩擦力の合力が重力と同一線上にあるのです。(ハ）は必要ありません。(（イ）（ロ）の釣り合いを考えるだけで充分なわけです。この作用線が一致しなくなると（ハ）を使う条件に移ります。これは重力の作用線は直方体の底面から出ることによって起こります。そのときは式＊が成り立ちます。

(iii）Ｎまでの距離を (b-atanα)/2　とするというのと同じ場面でＭｇまでの距離を計算すると
ｂ／ｃｏｓα－(ａ＋ｂｔａｎα)ｓｉｎα
です。Ｎ＝Ｍｇｃｏｓα　が成り立っていれば
いつも
左回りのモーメント＝右回りのモーメント
になります。モーメントを考えなくても釣り合っているのですからモーメントの計算をやっても自明な表現になってしまうのです。

(iv)もし自明な表現になるのを避けたいというのであれば一般的には垂直抗力の作用点が重心の真下という前提をはずせばいいです。垂直抗力の作用点が下の点からｃのところ（０＜ｃ＜ｂ）にあるとしてやります。モーメントの釣り合いの条件からｃの位置が重心の真下という結果がでてきます。
もし重心の真下の位置が底面から出てしまっていればｃをどう動かしても統合を実現させることが出来なくなります。

あなたの式では力はＮだけしか考慮されていません。
＃１のご回答の中の式はＭｇだけしか考慮されていません。
釣り合いはどんな場合でも２つ以上の力が必要です。

No.1 回答者： risyu 回答日時： 2007/12/21 02:54

＞(1)下側の点の周りのモーメントのつりあいでの解き方は正しいですか？

確かに、最終的な解答である
tanα = b/a
というのは正解です。しかし、考え方に問題があります。

＞θをゆっくり大きくしていくと、ある傾きの角αの時に物体は滑りださずに下側に倒れた。
＞このときのtanαを求めよ。
つまり、直方体の物体が倒れ始める直前の斜面の傾きを求めたいということですよね？
物体が倒れ始める直前は、摩擦力と垂直抗力の支点は、直方体の下方の点にあります。つまり、力のモーメントは０なのです。
よって、albas55さんの
---
垂直抗力をN、摩擦力をFとします。
このとき、力のつりあいより
　　N = mgcosα　　　F = mgsinα
---
という表し方が間違いということになります。
正しくは、
重力を、斜面に垂直な方向の力と平行な方向に分解すると、
F[垂直]=mgcosα
F[平行]=mgsinα
ということになります。
よって、
力のモーメントの式は
(a/2)mgsinα-(b/2)mgcosα=0 ・・・(*)
となります。
したがって、
tanα=b/a
となります。

以上をまとめると、
力のモーメントの式は正しいのだが、意味が違うということです。

＞(2)重心の周りのモーメントのつりあいの式は間違えているのでしょうか？それとも重心の周りのモーメントのつりあいで考えることが間違えているのでしょうか？

間違えです。
albas55さんは、
N ×　atanα/2 - F × a/2 = 0 　・・・(**)
と重心周りの力のモーメントの式を立てていますが、
正しくは、
(a/2)F-(b/2)N=0
ここで、
N=mgcosα
F=mgsinα
なので、
式(*)と同じになります。
したがって、重心周りの力のモーメントの式でも、解くことができます。
albas55さんの立てた式(**)を見ると、垂直抗力Nにaがかかっています。これが間違いなのです。垂直抗力には腕の長さであるbをかけなければなりません。