こんばんは、
微分法・積分法の問題を教えていただきたいです。
ある問題で、途中は省略しますが、
a>0の定数とする。S=4a/3+64/3a がaが正の値をとって変化するとき、Sはa=4において、最小値32/3 をとる。
とありました。
解答には、a>0より、相加平均≧相乗平均より、
4a/3+64/3a≧2√4a/3×64/3a すなわち、S≧32/3が成り立つ。
とありました。どうして、ここの場面で相加相乗平均を用いて、答えを出すのでしょうか?あと、いまだに、相加相乗をいつ用いたらよいのかが、わからなくて、困っています。
どなたか、教えてください。回答お待ちしています。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
相加平均と相乗平均の不等式は,
条件 1. A,B が共に「負ではない数」(=0 以上の数)であって,
条件 2. これらの積 AB が「定数」(=変数を含まないただの数)になり,
条件 3. A=B という不等式の等号成立条件が成り立つことがあるとき,
A+B の最小値を求める場合に有効です。
ご質問の問題に適用してみましょう。
A=4a/3,B=64/(3a) のとき,a>0 なので,A も B も「負ではない数」です。よって条件 1 をクリアしています。
そして,積は AB=256/9 となり,変数 a を含まない「定数」になります。
これで条件 2 もクリアしました。
最後に条件 3 ですが,相加平均と相乗平均の不等式の等号成立条件,
すなわち A=B が成り立つような変数 a の値があるかどうかを確認しましょう。
解答の通り,4a/3=64/(3a) を満たす正の数 a として,ちゃんと a=4 があります。
条件 1 については,相加平均と相乗平均の不等式を示すために必須の条件なので,これは絶対に外せません。
条件 2 は応用する際に必要な付加的な条件です。
この条件がないとどうなるか,次の例を考えてみましょう。
「x≧0 において,x^2+1 の最小値を求めよ。」
A=x^2,B=1 とおくと,条件 1 は満たされます。
よって,相加平均と相乗平均の不等式を適用することが出来ます。
その結果,x^2+1≧2√x^2=2x となります。
根号√を外すとき,x≧0 の仮定を用いました。
さて,不等式の等号成立条件から,A=B のとき,すなわち x^2=1 のとき,
これは x≧0 より x=1 を意味しますから,
「x=1 のとき,x^2+1 は最小値 1+1=2 をとる」という結論になります。
実は,x^2+1 の最小値は,x=0 のときの 1 なので,この結論は誤りです。
こういう事情で,応用の際には条件2が必要です。
No.4
- 回答日時:
この問題に限っていえば、別段相加相乗平均を使う必要はなくて、
普通に変数 a の関数だと思って最小値を求めればよさそうですね。
No.3
- 回答日時:
確かに、相加平均相乗平均の使い方って、慣れないと難しいですね。
私の場合、こんな感じで使ってたかな。
・2項の和の「最小値」を求める。
・2項の積を求めると、文字を含まない数になる。
もちろん、各項が正であることは、大前提として上記2つを求める問題であれば、「相加平均相乗平均が使えるかな?」と疑ってみてました。
# 2項の和の「最大値」を求める問題には適用できないことに注意してください。
# どうして「最大値」だとダメなのか、相加平均相乗平均の式をよく確認してみてくださいね。
いずれにしろ、「必ず相加平均相乗平均を使わないと結果が求まらない」という問題は、少ないと思います。
「使ったほうが楽に求まる」という程度です。
今回の問題も、Sをaで微分して極小値(=最小値)を求める問題に持っていっても普通に求まりますよね。
# 計算も、それほど複雑じゃないですし。。。
数学の場合、「なぜここでこれを使うの?」というのは、「解いていくと、たまたまそのパターンの形になったから、これを使ったんだけど。。。」ということが多いです。
これは、相加平均相乗平均の問題に限った話ではなく、大学入試で出題されるような問題全般にいえることです。
あとは、類題をできるだけ多く解いて、どれだけそのパターンを覚えられるか、というところでしょうか。
とりあえず、相加平均相乗平均については、上記の2つのポイントをヒントに、まずは「使えるかな?」と疑ってみるところからはじめてみてください。
そんな感じで問題を見ていくことで、「こんな場合も使えるかな?」というようなところまで見えてくるようになると思いますよ。
ご参考まで。。。
encyさんの、体験も教えていただいて、参考になりました。
この問題で、相加相乗については理解できたので、使ってみようと思います。助かりました。ありがとうございました
No.1
- 回答日時:
>どうして、ここの場面で相加相乗平均を用いて、答えを出すのでしょうか?
変な質問するね。そうすれば簡単に正解が得られるからだよ。
ここで判別式か微分を使うつもり?
>あと、いまだに、相加相乗をいつ用いたらよいのかが、わからなくて、困っています。
最小値を求める問題なら、条件は2つ。
(1) 与えられた文字が全て正であること。
(2) それらの文字項の積が定数であること。この場合は、(4a/3)と(64/3a)を掛けると定数になる。
但し、不等式の証明で使うなら(1)であれば良い。
とは言っても、必ず上手くいくとは限らない。その判断には、“慣れ”が必要。
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