にゃんこ先生の自作問題、4次関数が2つの2次関数の合成で書ける条件

にゃんこ先生といいます。

4次方程式 x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0 には、難しいにゃがらも公式があり、その過程では3次分解方程式にゃどというものを解く必要があり、さらにそのために、2次方程式を解く必要があります。
結局、公式は、平方根と３乗根と四則を使ってかけることが知られています。
そこで、4次方程式が平方根（二重根号であってもよい）と四則のみを使って解ける条件を考えてみました。
同じことですが、4次方程式の係数の長さが与えられたとき、解を定規とコンパスをもちいて書ける条件です。

このとき、4次方程式は、p,q,r,sをもちいて、
x^4+ax^3+bx^2+cx+d=(x^2+px+q)^2+r(x^2+px+q)+s=0
と書けるはずで、両辺の3次の係数を比べることで、p=a/2とにゃらにゃければいけにゃいことがすぐに分かり、他の係数を比べて、
2q+r=b-a^2/4
2q+r=2c/a
q^2+rq+s=d
とにゃります。
よって、求めたい条件は、b-a^2/4=2c/a とにゃりました。
このとき、qを勝手に決めれば、それによってr,sが定まります。

今度は、方程式でにゃく、関数を考えます。
4次関数 y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e が2つの2次関数の合成で書けるときのa,b,c,d,eの条件はにゃんでしょうか？
また、どのようにかけるのでしょうか?

No.1 ベストアンサー 回答者： syouji_08 回答日時： 2008/01/12 14:03

？

関数とか方程式とか関係なく単なる恒等式による係数比較によって
求めたわけだから、明らかに同じやり方になるわけだが．．。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2008/06/04 01:29