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円弧の始点座標、終点座標及び回り角度から円弧の中心点座標を求めることは可能でしょうか?
よろしくお願いいたします。

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化 α」に関するQ&A: α化?

A 回答 (4件)

中心の座標を変数において, 「2点までの距離が等しい」ことと, 2点を見込む角度がわかっていることから「内積の値が決まる」という方

程式を立てれば求まると思います.
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この回答へのお礼

すみません、よく分からないのですが

仮に
始点(x1,y1)、終点(x2,y2)、回り角度α
中心点(x0,y0)
とし
vectorA = (x1-x0, y1-y0) = (xA, yA)
vectorB = (x2-x0, y2-y0) = (xB, yB)

|vectorA| * |vectorB| * cos(α)= xA * xB + yA * yB

みたいな事ですか?

お礼日時:2008/01/25 18:33

A#1にお書きの式


>vectorA = (x1-x0, y1-y0) = (xA, yA)
>vectorB = (x2-x0, y2-y0) = (xB, yB)

>|vectorA| * |vectorB| * cos(α)= xA * xB + yA * yB
からはx0,y0の式が1つしかできません。
これに
|vectorA| = |vectorB|
の式からx0,y0のもう1つの式ができます。
x0,y0についての2つの式の実数解が2組出てきますので
円の中心はA(x1,y1),B(x2,y2)を結ぶ線分の両側に対称に2つ存在します。

(x1,y1),(x2,y2),αを文字定数としたまま
公式化するには(x0,y0)の式が複雑になりすぎます。
文字定数を具体的な値にすれば、数式処理ソフト(MathematicaやMaple)
を使えば即時に実数解の(x0,y0)が2組求まってきます。
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この回答へのお礼

皆さんありがとうございます。
別の掲示板でも質問してみたのですがこんな回答が帰ってきました。
xm = x1 + x2
ym = y1 + y2
t = 1 / tan(ang / 2)
x0 = (xm - t * (y2 - y1)) / 2
y0 = (ym + t * (x2 - x1)) / 2
数値を代入するとあっているようなのですが、なぜかがよく分かりません...

お礼日時:2008/01/28 16:30

円の中心Oは、始点Aと終点Bの垂直二等分線上にある。


その直線の方程式をy=ax+bとすると、中心Oの座標は(x,ax+b)と表せる。
これで、中心Oの座標が1変数で表わせた。
あと、△OABで余弦定理を使うと、xだけの二次方程式ができ、これを
解いてxを求めれば、中心Oの座標が求められる。
始点Aから終点Bに向かう円弧がどちらに曲がっているかによって、中心
は2つの可能性がある。
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ん, そんな感じ. あと, vectorA と vectorB の長さが等しいという条件が必要です.


で, 変数 2個に条件 2つだから解けるはず.
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Q始点、終点の二つの座標と半径からの円弧の長さの求め方。

始点、終点の二つの座標と半径からの円弧の長さの求め方。
こんにちは。数学ずぶの素人です。
座標上に円弧があります。始点、終点の二つの座標と半径が分かっており、これらから円弧の長さを求めたいのですが計算方法が分かりません。
どなたか分かる方、ご教授ください。

Aベストアンサー

円弧の長さLは半径rと中心角θが分かれば、L=rθとして求められます。
中心角θは、始点と終点の距離をaとすると、sin(θ/2)=a/(2r)なので、
L=2r*arcsin(a/(2r))

2点間の距離は分かりますね。
sqrt((x1-x2)^2+(y1-y2)^2)

QX、Y座標上にある2点間の円弧の距離

X、Y座標上にある2点間の円弧での距離を求める方法を教えてください。
例:A点(5、10)、B点(10、5)とした場合のA、B間の円弧の距離はいくつになりますか?回答宜しくお願いします。

Aベストアンサー

回答は出ていますので考え方の補足まで、
原点(X,Y)=(0,0)とする円の方程式は(1)で与えられます。
X^2+Y^2=r^2 ・・(1)
与えられた2点は円弧の上にありますから
(X1,Y1)=(5,10)
(X2,Y2)=(10,5)
どちらかを代入すれば半径が得られます。
半径r=√(5^2+10^2)=√(125)
=5√5
命題は、与えられた2点間の円弧の長さを求める問題ですね。
そこで、円弧の2点と中心(0,0)を3点としてできる三角形を考えます。
当然,この三角形は二辺の長さ(円の半径)を(5√5)とする
二等辺三角形になります。
他の1辺の長さは、二点間の直線距離ですから
二点間の直線距離の式(2)を利用します。
(ピタゴラスの定理の変形を利用します。)
√{(X1-X2)^2+(Y1-Y2)^2}・・(2)
二点間の直線距離は、√((-5)^2+5^2)=√50=5√2
になります。これで3つの辺の長さがわかりました。
この二等辺三角形の頂角Θがわかれば円弧の長さが
わかります。
求め方(1)
そこで、二等辺三角形の頂点から垂線を引いて
同じ直角三角形を2個つくれば、
長辺が5√5、短辺が(5√2/2)の直角三角形ができます。
垂線の長さはピタゴラスの定理により
√{(5√5)^2-(5√2/2)^2}で求まります。
=√(125-50/4)=(5・3√2)/2
これから3辺の比が (√10:3:1)がわかります。
これから求める二等辺三角形の頂角Θは、
この三角形の頂角の2倍として、アークtanで表すと、
Θ=2×arctan(1/3)
となり、Θをラジアンにすれば円弧の長さは以下で求まります。
2πr×(2×arctan(1/3))/2π
=(5√5)×(2×arctan(1/3))
=(10√5)arctan(1/3)
ちなみに角度Θは、36.87度になります。
(角度での答えは#5さんにあります。)
求め方(2)
三角形の余弦定理を使う場合
角度Θの二辺A,Bに挟まれた一辺の長さCは以下の式です。
C^2=A^2+B^2-2ABcosΘ
これを使えば、二辺A=B=5√5、C=5√2ですので
50=250-250cosΘ, 50/250=0.20=1-cosΘ
cosΘ=0.8 からΘ=arccos(0.8) で出ます。
角度をラジアンにすれば
円弧の長さは以下で求まります。
2πr×(arccos(0.8))/2π
=(5√5)×(arccos(0.8))
以上 補足まで

回答は出ていますので考え方の補足まで、
原点(X,Y)=(0,0)とする円の方程式は(1)で与えられます。
X^2+Y^2=r^2 ・・(1)
与えられた2点は円弧の上にありますから
(X1,Y1)=(5,10)
(X2,Y2)=(10,5)
どちらかを代入すれば半径が得られます。
半径r=√(5^2+10^2)=√(125)
=5√5
命題は、与えられた2点間の円弧の長さを求める問題ですね。
そこで、円弧の2点と中心(0,0)を3点としてできる三角形を考えます。
当然,この三角形は二辺の長さ(円の半径)を(5√5)とする
二等辺三角形...続きを読む

Q二点間を通り半径Rの中心点を求めるには。

教えて下さい。
二点間を通る、半径Rの中心点を求めるには、
どういった方法があるのでしょうか?
公式などあるのでしょうか?
例えば、
(14.502,46.811)と(10.346,38.576)を通る、
半径4.612の円の中心点はどうやったら求まるのでしょうか?
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>二点間を通る、半径Rの中心点を求めるには、
二点を通る円で半径Rの円の中心点を求めるには、
が正しい書き方です。
2点を(x1,y1),(x2,y2)とし円の中心点を(x,y)と置くと次の式が成立する。
(x-x1)^2+(y-y1)^2=R^2 … (1)
(x-x2)^2+(y-y2)^2=R^2 … (2)

(1)-(2)から
(2x-x1-x2)(x2-x1)+(2y-y1-y2)(y2-y1)=0 … (3)

(1)と(3)を(x,y)の連立方程式として解けば、通常、2組の解が出てきます。
2点間の距離>2Rの時は解が無い
2点間の距離=2Rの時は解は重解で2点を結ぶ線分が円の直径となる。
 円の中心は2点を結ぶ線分の中点が円の中心になります。
2点間の距離<2Rの時は
 2組の解の座標点が円の中心になり、円の中心は2つ存在します。
 この場合の円の中心は、(1)と(3)を(x,y)の連立方程式の解ですが、
 公式とするには式が長く複雑すぎます。
 個別の点が与えられたら、その都度、(1)と(3)から連立方程式を解いて
 円の中心座標の解を求めた方がよいでしょうね。

>(14.502,46.811)と(10.346,38.576)を通る、
>半径4.612の円の中心点はどうやったら求まるのでしょうか?

2点間の距離
 =√(((14.50200 - 10.34600)^2) + ((46.81100 - 38.57600)^2))
 = 9.2242919

一方、円の直径=4.61200*2=9.22400
2点間の距離の方が円の直径より大なので不可能です。

もし、
>>(14.502,46.811)と(10.346,38.576)
2点を直径とする円なら、円の中心(x,y)を求める式は
x=(14.502+10.346)/2=12.424
y=(46.811+38.576)/2=42.6935
で計算できます。

>二点間を通る、半径Rの中心点を求めるには、
二点を通る円で半径Rの円の中心点を求めるには、
が正しい書き方です。
2点を(x1,y1),(x2,y2)とし円の中心点を(x,y)と置くと次の式が成立する。
(x-x1)^2+(y-y1)^2=R^2 … (1)
(x-x2)^2+(y-y2)^2=R^2 … (2)

(1)-(2)から
(2x-x1-x2)(x2-x1)+(2y-y1-y2)(y2-y1)=0 … (3)

(1)と(3)を(x,y)の連立方程式として解けば、通常、2組の解が出てきます。
2点間の距離>2Rの時は解が無い
2点間の距離=2Rの時は解は重解で2点を結ぶ線分が円の直径となる。
 円...続きを読む

Q弧から、中心点を求める問題です

緊急を要する質問です。よろしくお願いいたします!

中学数学1年の作図の問題です。

弧が描かれており、その(弧を伸ばしていけば完成するであろう円が有する)中心点を書くというものです。

私は、その弧の両端から、コンパスで適当な距離に×をとり、
同じように上にも×をとって、それをつなげる作図方法かと思いましたが
それだと、できませんでした。

本日夕方までに答えて頂ければ非常に嬉しいです!

よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

たぶんこの方法でわかると思いますが、手元に分度器がないので、確証が持てませんでした。
わかりにくかったら申し訳ありません。

孤の始点をAとし、終点をBとする。
AとBを直線でつなぐ。
その中心を点Cとし、孤へと交わるように線ABに対して90度の線を書く。(直線Zとします)
十字の線が完成します。孤と線Zの交点をDとします。

交点DとA、交点DとBを線でつなぎます。
点ABDの三角形が完成します。
この三角形は基本的に線AD=線BDの二等辺の性格をもっています。
(場合によっては正三角形)

角ADCの角度を求めます。
線ADの点Aの場所から、角ADCと同一の角度で孤の内側に直線を引きます。
線Zと交わった場所が円の中心点となります。
(この交点を仮に交点Yとする)

円の性質として直線DY=AY=BYになる。
そのため、三角形ADYおよび三角形BDYは最低でも必ず二等辺三角形の性質をもつ。
そのため、角ADY=DAY=BDY=DBYとなる。

Q2点と半径から、中心座標と円弧を描く方法

標記件、以下を満足させる式はどのように導けばよろしいでしょうか?ご教示下さい。

(INPUT)
 ・始点と終点の2点のXY座標
 ・半径r

(OUTPUT)
 ・中心点座標
 ・2点を結ぶ円弧の関数


なお、中心点と円弧は2つ出来るかと思いますが、どちらでも結構です。判別基準があれば教えて頂きたく。


どうぞよろしくお願いします。

Aベストアンサー

 No.1 さんのご回答における代数的な部分を、若干修正します。

 与えられた2点を A(a_1, b_1), B(a_2, b_2) とします。
 求める円の中心の座標は
(x - a_1)^2 + (y - b_1)^2 = r^2
(x - a_2)^2 + (y - b_2)^2 = r^2
...なる連立方程式の解として求まります。
 その解は2組あり、それを P(p_1, q_1), Q(p_2, q_2) とすると、求める円弧の式は
(x - p_1)^2 + (y - q_1)^2 = r^2
(x - p_2)^2 + (y - q_2)^2 = r^2
...の様になるはずです(実際には、これらの各々に、各点P、Qが直線ABに関してどちら側にあるかに関して定まる不等式を連立させることになりますが)。

Q弧の角度から座標を求めるには

何度も質問させていただいて申し訳ないです。
教えてください。
VB6にて、中心点と始点の座標、弧の長さが与えられています。
中心点(488,-680)、始点(510,-682)、弧の長さが478というような
感じです。
弧の回転方向はこの場合は反時計周りです。
このような条件で終点となるX,Y座標を求める場合はどのような計算式
となるのでしょうか?
ご教授下さい。

Aベストアンサー

>始点が(510,682)で中心点が(488,-639)です
始点、中心が変わっているのに 半径や回転角が変化していないのは変ですよね

最終的な加法定理で回転座標を求めるx,yだけ変えても意味がありませんよ

半径は1321.183になりますよね 回転角は0.36179となりますよ
最初の手順から確認してみましょう

それと 少し訂正ですが
Y座標を求める際に 最後で -680 としていますが 本来は + (-680)です
これは 終点を本来の位置に戻すための移動量です

一般式で書くと
x1 = x * cos(θ) - y * sin(θ) + Xo
y1 = x * sin(θ) + y * cos(θ) + Yo
x1,y1が回転後の座標
x,yが回転移動する前の点
Xo、Yoが中心への平行移動量
となります

Q2点を通り、半径 r の円の中心点座標(展開後の式)

教えてください。
2点を通り、与えられた半径rの円の中心点座標の求め方を教えてください。
(できれは、展開後の式を教えて頂けますでしょうか。)よろしくお願いします。

Aベストアンサー

まず求めるべき円の中心は二点を結んだ直線を垂直二等分する直線L上にある事を
抑えて下さい。続いて、二点の座標から二点を結んだ直線の傾きmと中点Mを求めて
下さい。直線Lの傾きm'はー1/m(直線の直行条件より)であり、これがMを通るの
で、直線Lの式が求められます。次に、二点からMまでの距離dを求めると、三平方の
定理を用いることによりMから円の中心までの距離lが求められます(R・R=d・d+
l・l)。Mから直線Lに沿ってlだけ移動した点(2つ)が円の中心となります。

Q2点を通る半径rの円の中心の座標

2点 (a,b), (0,c) を通る半径 r の円の中心の座標を求めよ.
ただし,Δ=-1 + 4r^2/{a^2+(b-c)^2} >0 とする.

上手に求める方法はないでしょうか。

Aベストアンサー

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
x^2+(y-c)^2=r^2
2式の差を計算して整理すると、
2ax+2(b-c)y-(a^2+b^2-c^2)=0
(ちなみにこれは、2点を結ぶ線分の垂直二等分線の式になります)
これをx=・・・の形にして元の円の式に代入すれば、通常の2次方程式になりますから、
解の公式を使えばyが求められます。
それを、x=・・・の式に代入すれば、xも求められます。

そんなに難しい計算じゃないので御自分でどうぞ。


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