最小二乗法について

最小二乗法についての質問なのですが、『V=E-RI』という関係があり、下のような結果があるのですが（V:電圧,I:電流)、どのようにすれば、E（起電力）とR（電気抵抗）を求められるのでしょうか。

I[mA]　　　　　V[V]
0.082　　　　　8.00
0.224　　　　　6.42
0.402　　　　　4.30
0.532　　　　　2.78
0.666　　　　　1.42

最小二乗法の使用法についてまだあまり理解ができていないので、宜しくお願いします。

No.2 回答者： inara1 回答日時： 2008/02/03 10:38

zk43 さんと同じ計算方法ですが、計算式と計算結果を書いておきます。

式(1), (2) から、式(3), (4)を導く部分は自分で計算してみてください。

近似したい式が V = E - R*I のとき、ｎ個の測定値の組（ V1, I1 ）～（ Vn, In ）とのVの理論値と実測値の差の２乗の和 S
　　　　　　　　　　　　　　　　　　理論値　　測定値
　　　S = Σ[ i = 1 ～ n] {　 ( E - R*Ii ) -　　Vi　　 }^2
　　　　 = n*E^2 + R^2*Σ( Ii^2 ) + Σ( Vi^2 ) - 2*E*R*ΣIi + 2*R*Σ( Ii*Vi ) - 2*E*ΣVi
が最小となるように、E と R の値を決めるのが最小自乗法です。

ある特定の E と R の値で S が最小となるとき、その E や R の値を変化させると、S は必ず大きくなる（∂S/∂E≠0、∂S/∂R≠0）ので、S が最小となるときの E と R は次式を満足する必要があります。
　　　∂S/∂E = 2*n*E - 2*R*ΣIi -2*ΣVi = 0 --- (1)
　　　∂S/∂R = 2*R*Σ( Ii^2 ) - 2*E*ΣIi + 2*Σ( Ii*Vi ) = 0 --- (2)
式(1), (2) より
　　　E = [ { Σ( Ii^2 ) }*( ΣVi ) - ( ΣIi )*{ Σ( Ii*Vi ) } ]/{ n*Σ( Ii^2 ) - ( ΣIi )^2 } --- (3)
　　　R = [ ( ΣIi )*( ΣVi ) - n*Σ( Ii*Vi ) } /{ n*Σ( Ii^2 ) - ( ΣIi )^2 } --- (4)

質問文にあるデータ組から E, R を計算すると
　　　E =8.927329267、R = 11.39383333
となります。V はV単位、I はmA単位なので、計算される起電力E の単位はV、電気抵抗 R の単位はkΩです。

No.1 回答者： zk43 回答日時： 2008/02/02 13:44

n 　 I[mA]　　V[V]

1 　 0.082　　8.00
2 　 0.224　　6.42
3　 0.402　　4.30
4 　 0.532　　2.78
5 　 0.666　　1.42
と、とりあえず、データにn=1,2,3,4,5と上から番号を付けます。
I1=0.082、V1=8.00、・・・、I5=0.666、V5=1.42という感じです。
V=E-RIという理論的な関係を満たすようにE、Rを求めます。
理論値V=E-R*I1=E-R*0.082に対して、実測値はV1=8.00
・・・
理論値V=E-R*I5=E-R*0.666に対して、実測値はV5=1.42
となっており、これらの理論値と実測値の差の二乗の和が最小になる
ようにE、Rを求めます。
つまり、EとRの関数、
f(E,R)=Σ(E-R*In-Vn)^2
が最小となるように、E、Rを求めます。
それには、fをE、Rでそれぞれ偏微分して0になるE、Rを求めます。