x, y∈R がx^2+xy+y^2=6をみたしながら動くときz=x＋yの取り得る値の範囲を求めよ。

解決済

質問者：mabshi
質問日時：2008/02/05 22:36
回答数：3件

x∈R より、判別式Ｄは実数解を持つ（D≧0）を利用しました。
y=z-xをx^2+xy+y^2=6に代入
x^2+x(z-x)+(z-x)^2-6=0
x^2-zx+z^2-6=0
題意より
D=z^2-4(z^2-6)≧0
3z^2-24≦0
z^2≦8
∴ -2√2≦z≦2√2

と解いたのですが、説明不足でしょうか？
不自然な点、補足した方がよい点がをご教授下さい。

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回答 (3件)

No.3

回答者： take_5
回答日時：2008/02/06 15:37

その解法は余り賢明な方法ではない。

質問者の答案としての不適な点は既に指摘されているが。
条件も、求めるものも、xとyについての対称式（xとyを交換しても同じ式になる事）になっているから、こういう場合はそのように扱うのが定石。
勿論、他の解法（パラメーター表示を使う、座標の回転を使う）もあるが、ここは定石通りに。。。。笑

x＋y＝a、xy＝bとすると、x^2+xy+y^2＝（x＋y）＾2-xy＝a＾2-b＝6.‥‥(1)
xとyはt＾2-at＋b＝0の2つの実数解から、判別式≧0.計算すると、a＾2-4b≧0‥‥(2)
(1)を(2)に代入すると、a＾≦8、即ち、｜z｜≦2√2.

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この回答へのお礼

丁寧な解答ありがとうございます。
参考にさせて頂き、もう一度問題を解いてみます。

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お礼日時：2008/02/09 21:05

No.2ベストアンサー

回答者： arrysthmia
回答日時：2008/02/06 10:39

試験対策を考えているなら、少し答案の書き方を考えたほうが良いかもしれません。

答案は、基本的に「文章を」書くものです。数式は、その補助に過ぎませんから、
式だけ書きっぱなし(に近い)答案は、求める値だけ当たっていても、評価が低い場合があります。

上の答案は、「題意より」の部分を補って

x^2+xy+y^2=6 に y=z-x を代入すると、x^2-zx+z^2-6=0 となる。
題意より、この方程式は x の実数解を持たねばならないから、
判別式を考えると、z^2-4(z^2-6)≧0 が成り立つ。
この不等式を解けば、-2√2≦z≦2√2 となる。

と解釈される可能性があります。(文章になっていないので、読まずに0点という可能性さえある。)

こう書き直してみると、
-2√2≦z≦2√2 は、実数 x が存在するための必要条件に過ぎないこと、
実数 y が存在するかどうかに関して何も言っていないこと、
の二点について、十分性の怪しい記述になっています。

判別式≧0 であれば実数解 x が存在し、y=z-x によって y も実数である
ことを一言書いておくほうが好いでしょう。
そんなこと言うまでもない、と思ったとしても。