極限値を求める問題

極限値を求めろという問題で
　x^2 sin a - a^2 sin x
lim　-----------------------
x→a　　　　x - a
というのがあり、
　　　f(x) - f(a)
lim　----------- = f'(a)　を利用するらしいんですが
x→a　　x - a
単純にはこの形に変形ができなさそうなんですが、どう変形したらいいんでしょうか
テストが明日で困っています

ちなみに答えは　2a sin a - a^2 cos a　です

No.1 回答者： sanori 回答日時： 2008/02/26 18:10

こんばんは。

ｆ（ｘ）＝ｘ^2 sinｘ　とおけば、ｆ（ａ）＝ａ^2 sinｘ
ｇ（ｘ）＝ａ^2 sinｘ　とおけば、ｇ（ａ）＝ａ^2 sinｘ＝ｆ（ａ）

　　x^2 sin a - a^2 sin x
lim　-----------------------
x→a　　　　　x - a

　＝　lim(x→a) ｛ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）｝／（ｘ－ａ）

　＝　lim(x→a) ｛ｆ（ｘ）－ｆ（ａ）－ｇ（ｘ）＋ｆ（ａ）｝／（ｘ－ａ）

　＝　lim(x→a) ｛ｆ（ｘ）－ｆ（ａ）－ｇ（ｘ）＋ｇ（ａ）｝／（ｘ－ａ）

　＝　lim(x→a) ｛ｆ（ｘ）－ｆ（ａ）｝／（ｘ－ａ）
　　　－　lim(x→a)｛ｇ（ｘ）－ｇ（ａ）｝／（ｘ－ａ）

ここまで来れば、大丈夫なのでは。

No.2 ベストアンサー 回答者： 0125mica 回答日時： 2008/02/26 18:16

「利用するらしい」をご存知でしたら利用しましょう。

分子は「x^2sin a-a^2sin x」ですがa^2sin aを減じて加えてを追加すると・・・
x^2 sin a - a^2 sin a - (a^2 sin x - a^2 sin a) となりますよね。

利用できるのではありませんか

No.3 回答者： age_momo 回答日時： 2008/02/26 18:34

分子は

x^2 sin a - a^2 sin x=x^2sina-a^2sina+a^2sina-a^2sinx
=(x^2-a^2)sina+a^2(sina-sinx)=(x-a)(x+a)sina+a^2(sina-sinx)

これを(x-a)で割るんですよね。前半は割れますよね。後半は微分形を使えばいいですね。
でも、こんなの見て覚えても自分で工夫してみないとあんまり試験で活用できそうにないですが。。。

No.4 回答者： take_5 回答日時： 2008/02/26 20:01

x - a＝hとすると、h→0の時の、lim（分子）/（h）極限値を考えることになる。

但し、分子＝（a＋h）＾2* sin a-a^2* sin （a＋h）。

その方が計算が簡単にいくだろう。

この回答へのお礼

皆さんありがとうございました
とにかく、足して引いて二つ別々に計算できるようにするんですね
やってみたらできました
ありがとうございました

お礼日時：2008/02/26 22:37