宮城県教員採用試験の過去問で分からないものです。

Question

「七夕飾りを見学しながらみやげ屋に立ち寄りました。みやげ品を買おうと思って財布を見ると、１０円玉が５個、５０円玉が２個、１００円玉が４個、５００円玉が１個入っていました。10円玉を２個以上、100円玉を３個以上必ず入れて払える金額は、全部で何通りになりますか。」という問題で、解答には
「あらかじめ使う10円玉２個、１００円玉をのぞいて考えるようにする。
１０円玉　ｘ個（ｘ＝０，１，２，３）→４通り
５０円玉　2個　１００円玉　ｙ個（ｙ＝０，１）→５０、１００、１５０、２００円の４通り
５００円玉　１個→２通り
よって　４×４×２－１＝３１通り」
とありました。なぜ最後に１を引くか分からないので教えてください。
また、なぜ５０円玉と１００円玉は一緒に考えるのかも分かりません。

もっとよい解答があればそちらもお願いします。

Ama430 · Accepted Answer

１０円玉　ｘ個（ｘ＝０，１，２，３）→４通り
５０円玉　2個　１００円玉　ｙ個（ｙ＝０，１）
　　→０、５０、１００、１５０、２００円の５通り
５００円玉　１個→２通り

これから４×５×２＝４０通りとなります。

最後に１を引いたのは、
うっかり０円があり得ると考えたか、
５０円２枚使用と１００円４枚使用が５００円になる
(実際には１００円３枚を必ず使うことから同額にはならない)
という勘違いかのどちらかでしょう。

大学入試問題でもたまにミスがあるくらいですから、市販の問題集の解答にミスがあっても不思議はないでしょう。

opechorse · Answer

基本は樹形図ですが、10円2個、100円3個を組み込んだ図で考えてみました


500円　100円　 50円　 10円
 0個　　3個　　0個　　2個
 1個　　4個　　1個　　3個
　　　　　　 　　 2個　　4個
　　　　　　 　　　　　　5個
 2　　×2　　×3　　×4＝48通り

このとき重複する関係を考えます
A　100円4個のとき50円0個と100円3個のとき50円2個のときは重複します　
2×1×1×4＝8通り
48－8＝40
やっぱり40通りかな

inazu · Answer

私自身あまり数学が得意なほうではないので，参考程度にしてください。
私もこの解答には？？？なところがあります。
確かにNo.1さんのように，0円が存在する場合には，1を引く必要はあるでしょうが，この問題は質問者さんの言うとおりで，引く必要はないと考えられます。（もともと320円はあるわけですから）

さて，私なりに考えた解答は次のとおりです。
320円分（10円×2，100円×3）はすでに財布から出したとします。
残りのものからいくら追加して払えるかを考えます。
（この考えは，解答と同じ）
ここで注意するのはNo.1さんのとおり50円が2枚あることです。
50円2枚で100円，100円1枚でも100円で金額としては重複します。
（支払い方から見れば，50円2枚のときと100円1枚のときで2通りになる）
ですので，50円と100円は一緒にして考えます。
(a)10円玉では，0円・10円・20円・30円払える。→4通り
(b)50円100円玉では，0円・50円・100円・150円・200円払える。→5通り
(c)500円玉では，0円・500円払える。→2通り
よって，4×5×2＝40通り

ではないのかな？と思います。
実際根気よく組み合わせを作ってみても40通りあった。

FEX2053 · Answer

全部「０」＝払わない、がこの計算だと出てきてしまうから、「１」
を引くんですね。

50円玉と100円玉は、50円玉２個=100円玉1個に換算できてしまうから
です。他の硬貨は全部使っても上位硬貨の金額になりませんから。

宮城県教員採用試験の過去問で分からないものです。

１０円玉 ｘ個（ｘ＝０，１，２，３）→４通り

基本は樹形図ですが、10円2個、100円3個を組み込んだ図で考えてみました

私自身あまり数学が得意なほうではないので，参考程度にしてください。

全部「０」＝払わない、がこの計算だと出てきてしまうから、「１」

この回答への補足

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