余り

ｎが自然数のとき、x^ｎを(x-1)^2で割った余りを求めよ。

という問題で、
商をQ(x)としてx^n=(x-1)^2Q(x)+ax+b
x=1のとき1=a+b
としましたが、この後どうすればいいのかわかりません。
どなたかアドバイスをお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： take_5 回答日時： 2008/05/10 20:11

微分を習っているなら、

＞商をQ(x)としてx^n=(x-1)^2*Q(x)+ax+b　x=1のとき1=a+bとしましたが

両辺をxについて微分すると、n*x^（n-1）＝2（x-1)*Q(x)+(x-1)^2*Q´(x)+aとなるから、
x＝1を代入すると、n＝0＋0＋a。∴　a＝n。　よつて、b＝1-a＝1-n。

一般に、f（x）が(x-α)^2で割り切れるなら、f（α）＝f´（α）＝0が成立する。
これは、その証明共ども覚えておいたほうが良い。

この回答へのお礼

微分を使ってこのように解くことができるんですね。
とても勉強になりました。皆さんの回答とても参考になりました。
ありがとうございました。

お礼日時：2008/05/10 20:59

No.2 回答者： arrysthmia 回答日時： 2008/05/10 20:03

ｘ－１＝ｙ と置き、

（ｙ＋１）^n を二項定理によって展開すれば、
これを ｙ^2 で割った余りが分かります。

No.1 回答者： kabaokaba 回答日時： 2008/05/10 19:55

>としましたが、この後どうすればいいのかわかりません。

1=a+bより，b=1-a
よって
x^n=(x-1)^2Q(x)+ax+(1-a)
x^n=(x-1)^2 Q(x) +a(x-1)+1
x^n-1 = (x-1)^2 Q(x) + a(x-1)
(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+・・・+x+1) = (x-1)^2 Q(x) + a(x-1)
x^{n-1}+x^{n-2}+・・・+x+1 = (x-1) Q(x) + a
x=1を代入して
a=n, b=1-n


(x-1)^2で割るときは，最初から
x^n=(x-1)^2Q(x)+a(x-1)+b
とおくのもよい．