[問] (1) 直交系{sin(nx)}は[0,π]で完全とする。Parsevalの不等式は
Σ[n=1..∞](b_n)^2=2/π∫[0..π](f(x))^2dxとなる。但し
,b_n=2/π∫[0..π]f(x)sin(nx)dx
(2) Parsevalの等式と指示された関数を使って次の級数の和を求めよ。
(i) Σ[k=1..∞]1/(2k-1)^2,f(x)=1
(ii) Σ[k=1..∞]1/k^2,f(x)=x
で(2)の求め方が分かりません。
b_n=2/π∫[0..π]1・sin(nx)dx=2/π∫[0..π]sin(nx)dx=2/π[-1/ncos(nx)]^π_0=4/(nπ)
Σ[n=1..∞](b_n)^2=2/π∫[0..π]f(x)^2dx=2/π∫[0..π]1dx=2/π[x]^π_0=2/π・π=2
となったのですがこれからどうすればいいのでしょうか?
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
偶関数だからというより、nが偶数のとき
b_n = 2/π∫[0..π] sin(nx)dx
は n/2周期にわたる積分になるので0です。
> 偶関数だからというより、nが偶数のとき
> b_n = 2/π∫[0..π] sin(nx)dx
> は n/2周期にわたる積分になるので0です。
そうですね。
k∈Nの時,
b_(2k) = 2/π∫[0..π] sin((2k)x)dx=2/π∫[0..π/2]sin(2kx)dx+2/π∫[π/2..π]sin(2kx)dx
=(1-(-1)^k)/(πk)+((-1)^k-1)/(πk)=0
となりますね。
従って,
b_(2k-1)=2/π∫[0..π]1・sin((2k-1)x)dx=2/π∫[0..π]sin((2k-1)x)dx=2/π[-1/(2k-1)cos((2k-1)x)]^π_0=4/((2k-1)π)
Σ[n=1..∞](b_n)^2=Σ[n=1..∞](b_(2k-1))^2=Σ[n=1..∞](4/((2k-1)π))^2
一方,2/π∫[0..π]f(x)^2dx=2/π∫[0..π]1dx=2/π[x]^π_0=2/π・π=2
故にParsevalの等式Σ[n=1..∞](b_n)^2=2/π∫[0..π](f(x))^2dxに代入して
Σ[k=1..∞](4/((2k-1)π))^2=2
16/π^2Σ[k=1..∞]1/(2k-1)^2=2
∴ Σ[k=1..∞]1/(2k-1)^2=π^2/8
と解けました!
(ii) Σ[k=1..∞]1/k^2,f(x)=xについては
b_n=2/π∫[0..π]xsin(nx)dx=2/π[-x/ncos(nx)+1/n^2sin(nx)]^π_0
=2(-1)^(n+1)/(nπ)
一方,2/π∫[0..π]f(x)^2dx=2/π∫[0..π]x^2dx=2/π[x^3/3]^π_0=2/π・π=2π^2/3
故にParsevalの等式Σ[n=1..∞](b_n)^2=2/π∫[0..π](f(x))^2dxに代入して
Σ[k=1..∞]4/(kπ)^2=2π^2/3
4/π^2Σ[k=1..∞]1/k^2=2π^2/3
∴Σ[k=1..∞]1/k^2=π^4/6
と解けました。
No.2
- 回答日時:
ついでに言うと、
Σ1/(2k-1)^2 = π^2 /8
になりました。
> ついでに言うと、
> Σ1/(2k-1)^2 = π^2 /8
> になりました。
えっえっ!
どのようにして
b_n=2/π∫[0..π]1・sin(nx)dx=2/π∫[0..π]sin(nx)dx=2/π[-1/ncos(nx)]^π_0=4/(nπ)
Σ[n=1..∞](b_n)^2=2/π∫[0..π]f(x)^2dx=2/π∫[0..π]1dx=2/π[x]^π_0=2/π・π=2
からそこに辿り着けるでしょうか?
No.1
- 回答日時:
書いてある通りにやるだけじゃないの。
まずf(x)=1 でnが偶数のとき、b_nが0でないとおかしいと気がついてくれ。ありがとうございます。
> 書いてある通りにやるだけじゃないの。
b_n=2/π∫[0..π]1・sin(nx)dx=2/π∫[0..π]sin(nx)dx=2/π[-1/ncos(nx)]^π_0=4/(nπ)
Σ[n=1..∞](b_n)^2=2/π∫[0..π]f(x)^2dx=2/π∫[0..π]1dx=2/π[x]^π_0=2/π・π=2
とやってみたのですがこれからどうすればいいのでしょうか?
> まずf(x)=1 でnが偶数のとき、b_nが0でな
> いとおかしいと気がついてくれ。
f(x)=1は偶関数だからフーリエ係数でb_nsin(nx)部分が消えないといけないという事ですね。
nが偶数の時,(b_n=)4/(nπ)は0となりませんよね?
すいません。どうすればいいのか分かりません。
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