A=(a b ; c d) (←2次の正方行列をこのように表すとします)
(1)行列Aが固有値λ1、λ2 (λ1≠0、λ2≠0)を持つとするとき、ケーリー・ハミルトンの式を用いて、
tr(A)=λ1+λ2、 det(A)=λ1・λ2 となることを示せ。 (λ1の"1"などはλの添え字だとします)
(2)上記の条件の下で、(λ1-λ2)・A^n=((λ1)^n-(λ2)^n)・A-((λ1)^n・λ2-λ1・(λ2)^n)・E
が成り立つことを示せ。ただしnは正の整数とする。 ( "^n" はn乗を、"E"は単位行列を表しています)
という問題がよくわかりません。
(1)は、僕なりの解としては、ケーリー・ハミルトンを用いなければ
A-λE=(a-λ b ; c d-λ)
det(A-λE)=(a-λ)(d-λ)-bc
=λ^2-(a+d)λ+ad-bc=0
この方程式の2解はλ1、λ2なので、解と係数の関係より
λ1+λ2=a+d=tr(B)
λ1・λ2=ad-bc=det(B)
としましたが、ケーリー・ハミルトンを用いるとどのようになるのでしょうか?
(2)は、全然方針が思い浮かびません…どのように解くのでしょうか?よろしくお願いします。
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