1次元シュレーディンガー方程式

画像の問題を解いたのですが、Δの値がとても汚くなってしまいました。正しい解き方を教えてもらえると助かります

No.1 回答者： eatern27 回答日時： 2021/12/31 17:55

単に汚いというだけで間違いと判断するようなものではありませんので、まずはどんな式を立てて、最終的にどうなったか(計算の過程で求めたのなら領域Iの波動関数がどうなったのかも)を書いてみて下さい。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。読みにくいですが下に進捗を書き込ませていただきます。

領域Iでの波動関数は
ψ_1=Fcos(k'x)+Gsin(k'x)
(k'=√(2m(E+V_0))/h^2)　(hはhハット))

領域IIでの波動関数は
ψ_2=A(e^(-ikx)+e^i(kx+Δ))
(k=√((2mE)/h^2))

境界条件ψ_1(0)=0よりF=0だから
ψ_1=Gsin(k'x)

これとx=aにおける境界条件
ψ_1(a)=ψ_2(a)、ψ_1'(a)=ψ_2'(a)より
Gsin(k'a)=A(e^(-ika)+e^i(ka+Δ))
Gk'cos(k'a)=Aik(-e^(-ika)+e^i(ka+Δ))
(↑おそらくこの2式の扱いがちゃんとできていないのだと思います)

この2式を辺々足した&引いた式をかけ合わせて
e^(iΔ)=(G/(2A))^2 * (sin^2(k'a)+(k'/k)^2 * cos^2(k'a))
を得ました。ここからΔを得るには(複素数で定義された)対数関数を用いないとならなくなり、この問題の次の小問を見たところ、そのような答えはありえないと感じました。

お礼日時：2021/12/31 18:11

No.2 回答者： eatern27 回答日時： 2021/12/31 22:27

>これとx=aにおける境界条件

>ψ_1(a)=ψ_2(a)、ψ_1'(a)=ψ_2'(a)より
>Gsin(k'a)=A(e^(-ika)+e^i(ka+Δ))
>Gk'cos(k'a)=Aik(-e^(-ika)+e^i(ka+Δ)

ここまではokです。
強いて言えば問題文でCとされてたのが何故かAになってる事くらいですかね。手元で計算するだけならどうでも良い部分ですが、もしも最終的に他の人が見る(大学のレポートとか)なら記号は変えない方が親切です。

>この2式を辺々足した&引いた式をかけ合わせて
>e^(iΔ)=(G/(2A))^2 * (sin^2(k'a)+(k'/k)^2 * cos^2(k'a))
辺々足した/引いた式をかける意図が分からなかったので、この式そのものが正しいかはチェックしていませんが、問題の答えとしては明らかにNGです。
右辺にあるGは貴方が定義した記号(未知変数)で、問題に与えられてるものではないのでこれはe^(iΔ)が求まったとは言いません。

ここでやるべき計算はx=aでの境界条件から得られた2つの式を、GとΔを未知数とする連立方程式と思って解く事です。

物理的状況からすれば入射した電子は全て反射するはずなので、入射波と反射波の振幅は等しくなるはずです。この条件はΔが実数=e^(iΔ)の絶対値が1 となるので、そうなっているかを見ればある程度計算ミスしてるかはチェックできるでしょう。


> ここからΔを得るには(複素数で定義された)対数関数を用いないとならなくなり、この問題の次の小問を見たところ、そのような答えはありえないと感じました。

次の問題から対数関数を使った解にはならなさそう
(?)というのがどんな状況か想像できないので、これは何とも言えませんが、
ご質問の式のままだと対数の中身がすごい量になるので、それがおかしいという事であれば上の話で解決しますかね？正しく求めたe^(iΔ)を元に考えてみて下さい。