三角形の面積

「曲線y=x^2と直線y=2x+t(-1<t<1)の2つの交点をA,Bとし,点(0,1)をCとする。このとき三角形ABCの面積の2乗をS(t)とする。S(t)を求めよ。」
という問題で、まずは三角形ABCの面積を求めようとして交点を求め、線分の長さを求め、高さを求め……、とかなり面倒な方法で求めました。
そこで解答を見たところ、
「A(α,α^2),B(β,β^2)とすると
　△ABC=1/2|α-β|(1-t)」
と、2行で片付けられていました。
これは何か公式のようなものなのでしょうか？だとしたら、一般的にはどのようなものですか？どなたか教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： FEX2053 回答日時： 2008/06/04 13:28

公式とか何とか言うより、単純にX=αとX=βに垂線を引き、

y軸を底辺として三角形を変形すれば、α-βを底辺、(1-t)を高さ
にした三角形になりますよ。

この手の図形問題は、頭の中でどうこうするより、図形を書いて、
変形に気づくかどうかが勝負です。

No.4 回答者： Ggeto 回答日時： 2008/06/04 18:15

まず、y=2x+t　はわからない記号が２つあるのでyを消去してxだけの式にして求めようとすると複雑になるのでわからない記号が２つ以上ある場合はそういうことをしてはいけない。

仮にAのx座標をα 、Bのx座標をβと置き、曲線の式に代入する。それによってＡのｙ座標はα＾2、Ｂのｙ座標はβ＾2となる。
△ABC=1/2｜α-β｜（1-ｔ）の説明をすると三角形の面積=1/2×底辺×高さにもとずいているものです。（1-t)は底辺を表し、｜αーβ｜は高さを表しています。
△ACtと△BCtの２つの三角形に分けて考えればいいです。

No.3 回答者： DIooggooID 回答日時： 2008/06/04 14:15

一般的な公式である、三角形の面積　＝　・・・

　　　底辺　x　高さ　／　２　　

です。
　

No.2 回答者： take_5 回答日時： 2008/06/04 13:49

確かに公式はある。

Ａ（x1、y1）、Ｂ（x2、y2）、Ｃ（x3、y3）とすると、ＡＢＣの面積＝（1/2）*｜（x1-x3）（y2-y3）-（x2-x3）*（y1-y3）｜。
これは憶えておくと便利、但しその証明も理解する事。

この問題で、Ａ（α、α＾2）、Ｂ（β、β＾2）、Ｃ（0、1）とすれば、αとβは、x^2-2x-t＝0の2つの解から、α＋β＝2、αβ＝-tを使えば良い。

それにしても、不親切な解ではある。。。。。。笑