微分方程式 y''=y'

F(x,y',y'')=0は、yを独立変数としてy'=zとおけば、微分の連鎖法則により１階微分方程式F(y,z,(dz/dy)z)=0に帰着する。この方法を用いてy''=y'を１階の微分方程式に変換して解け。
この問題の解き方を教えてください。
y=e^(λx)と置いて解く方法では解けるのですが、この問題で指定された解き方はどのような風に解けばいいのか分からないので…。

No.2 回答者： proto 回答日時： 2008/06/13 10:03

失礼ですが、変数分離型は微分方程式の一番初歩的な解法で、しかも今回のものはおそらく一番シンプルな形ですよ。

なにか手元に参考書でも持っていないのですか？


　(dz/dy)*z = z
　dz = dy
　∫dz = ∫dy
　z = y+C

　dy/dx = y+C
　dy/(y+C) = dx
　∫dy/(y+C) = ∫dx
　ln(y+C) = x+A
　y+C = exp(x+A)
　y = exp(x+A) -C
　y = exp(A)exp(x) -C
C,Aは任意定数だから、exp(A)と-Cを適当にC1,C2で読み替えて
　y = C1*exp(x) +C2

No.1 回答者： proto 回答日時： 2008/06/12 22:07

　y' = dy/dx = z

と置くと
　y'' = dy'/dx = dz/dx = (dz/dy)*(dy/dx) = (dz/dy)*z

　y'' = y'
　(dz/dy)*z = z
変数分離形

まあこの場合はzと置くまでもなく両辺をxで積分していいと思うけど。

この回答へのお礼

丁寧な回答ありがとうございました。
申し訳ないのですが (dz/dy)*z=z から変数分離形で答えを求めるところまでの計算式も教えていただけないでしょうか？
ちなみに答えはy=c1e^x+c2です。

お礼日時：2008/06/12 23:08