0°≦x≦90°のとき、2sinx+cosxの最大値と最小値を求めよ。(大学への数学IIP68)
という問題があるのですが、
解答)
図1のようにαを定めると、45°<α<90°であり、
(図1とはx軸方向に1、y軸方向に2を取りその棒の距離を√5、なす角をαとした図です。)
2sinx+cosx=√5[cosx*(1/√5)+sinx*(2/√5)]
=√5(cosx*cosα+sinx*sinα)=√5cos(x-α)
0°≦x≦90°により、-α≦x-α≦90°-αであるから、
x-α=0°のとき最大値√5を取り、
x-α=-α、つまりx=0°のとき最小値2sin0°+cos0°=1を取る。 (おわり)
何故最初にわざわざ45°<α<90°と置くのか分かりません・・・
どうかよろしくお願い致します。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
解答がわかりにくいね。
なんで三角関数の合成でcosをわざわざ使ったんだろう。(別解)
2sinx+cosx=√5sin(x+k)
sink=1/√5,cosk=2/√5
つまり
kは0°から45°の範囲の中にある
なぜなら
sink<sin45°を満たす。
実際に
1/√5<√2/2
全体を2乗すると
1/5<1/2 で明らか。
よって、k<=x+k<=90°+k
√5sin(x+k)の最大値はx+k=90°のときで√5
最小値はx+k=kのときなので
√5sin(x+k)=√5sink=1である。
sinを使っても合成問題を解けるのですね。
しかも分かりやすいです!
>kは0°から45°の範囲の中にある
とすることで、最大値のとりうる範囲を絞り出すのですね。
合成の本質が見える気がします。
ありがとうございました>_<
No.2
- 回答日時:
> 何故最初にわざわざ45°<α<90°と置くのか分かりません・・・
解答の1行目に『図1のようにαを定めると、45°<α<90°であり』と書いてあります。
『45°<α<90°』となるようにαを置いたわけではありません。
『図1を描いたら、αが45°より大きく、90°より小さかった』だけです。
具体的にαが何度になるか分からないので、
『αは45°より大きく、90°より小さい』としか記述できないんです。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 t=cosx-sinxを合成するときマイナスでくくってsinの合成にしても問題ないですよね? またc 3 2023/03/05 15:40
- 数学 回答者どもがなかなか答えられないようなので、考えてみました。 ∫[0,π/2]log(sinx)/( 4 2022/08/31 16:30
- 数学 高校生です。 この問題が解説がないため合ってるか分かりません。 この回答であってますか? 回答 g( 3 2023/01/24 14:05
- 数学 次の関数を微分せよ y=sin^4 x cos^4 x という問題で自分は積の微分法で微分して y' 3 2023/05/17 20:38
- 物理学 時速 54 km で一直線上を車で走っていると、25 m 先に障害物を見つけた。このとき、どのくら 1 2022/06/05 20:05
- 数学 数学の問題です。回答よろしくお願いします。 sinが無限に続く関数f(X)=sin(sin(sin( 3 2022/09/21 10:40
- 数学 ε-δ論法について 3 2023/02/21 14:29
- 数学 高校生です。 この問題の解説がなくてこの解き方で合っているでしょうか? g(x,y)=0のとき x^ 2 2023/01/25 17:28
- 高校 数3 面積 4 2022/05/11 12:37
- 数学 【至急】数llの三角関数の合成利用の問題について y=2sinx+cosx (0≦x≦π)の最大値、 3 2023/05/28 14:25
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
sin²θとsinθ²と(sinθ)²って全部...
-
底辺と角度から、高さを求める。
-
sinのマイナス1乗の計算方法を...
-
積分 ∫√(4-x^2)dxについて
-
2つの円の一部が重なった図
-
sinωTをTで積分。
-
数学I 1列目が問題です。 2列目...
-
sin1の1って一体・・・
-
周期の最小値?
-
数学 sin1/2は何を表しているの...
-
e^(-x)*|sinx| これを積分する...
-
(sinθ)^2とsin^2θの違い
-
大学受験時のsin,log,lim,xの表記
-
三角関数の答えが1以上になるの...
-
これsin75°を求めよで答え √6+...
-
なぜ2sinθ=1になるんですか?
-
sinx=cosxの解き方。
-
『inv』って
-
『楕円球体の三重積分を極座標...
-
極限の問題
おすすめ情報