直線の一致する条件について?

こんばんわ。連続で質問して申し訳ないです>_<、

問）円x^2+y^2=9　---(2)と円(x-a)^2+(y-b)^2=4　----(1)の２つの共有点を通る直線の方程式が、6x+2y-15=0となるような(a,b)を求めよ。

解答）２つの円の共有点をA,Bとする。A,Bの座標は、(1)と(2)をともに満たす。ｘ、ｙであるから、
(2)－(1)、つまり 2ax+2by-(a^2+b^2+5)=0 -----(3)
も満たす。これは直線を表すから、直線ABに他ならない。
これが、　　　6x+2y-15=0 ---------(4)
と一致するための条件は、
2a:2b:(a^2+b^2+5)=6:2:15
2a:2b=6:2よりa=3b
2b:(a^2+b^2+5)=2:15より
2b^2-3b+1=0
∴(b-1)2b-1)=0
b=1 , 1/2

(a,b)=(3,1),(3/2 , 1/2)

疑問）
この問題の、２直線の比較についてですが、
2a=6
2b=2
-(a^2+b^2+5)=-15
として、a=3,b=1とするのは何故ダメなのでしょうか？

参考書の説明では、
「px+qy+r=0と、p`x+q`y+r`=0が表す直線が一致する条件は、p:q:r=p`:q`:r`である」
とあるのですが、今までずっと教わってきた係数比較ではダメなのでしょうか？

どうかよろしくお願いします

No.1 ベストアンサー 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/06/23 04:18

>２つの円の共有点をA,Bとする。

A,Bの座標は、(1)と(2)をともに満たす。
>ｘ、ｙであるから、(2)－(1)、つまり 2ax+2by-(a^2+b^2+5)=0 -----(3)
>も満たす。これは直線を表すから、直線ABに他ならない。
説明がはしょられすぎていて非常に悪い解答です。私が採点者なら大減点。

>この問題の、２直線の比較についてですが、
>...
>として、a=3,b=1とするのは何故ダメなのでしょうか？
例えば
x + y + 1 = 0 と
2x + 2y + 2 = 0
は「同じ」直線でしょう？

この回答へのお礼

ありがとうございます
確かに言われてみればそうですね！
係数比較では、
x+y+1=0と
2x+2y+2=0
の違いのようなものがあるために、それぞれの項の比で計算するのですね。

ありがとうございました！

お礼日時：2008/06/24 09:47

No.4 回答者： take_5 回答日時： 2008/06/23 18:19

＞２つの円の共有点をA,Bとする。

A,Bの座標は、(1)と(2)をともに満たす。ｘ、ｙであるから、(2)－(1)、つまり 2ax+2by-(a^2+b^2+5)=0 -----(3)も満たす。これは直線を表すから、直線ABに他ならない。

解答のこの部分も結構いい加減ですね。

＞＞(3)より、a＝3b、and、b＝（a＾2＋5+b＾2）/15であるから、連立して解くと　（a、b）＝（3、1）、（3/2、1/2）。

（a、b）＝（3、1）の時、6x＋2y-15＝0.
（a、b）＝（3/2、1/2）の時、2*（6x＋2y-15）＝0.

この回答へのお礼

わざわざ補足して頂いてすみません。

今まで未知の式と気軽に係数比較をして、問題を解いていたのですが（色々な参考書の解答でたくさん使っていました）、もう怖くて使えないですね・・・
これからは、こまめに係数比較を使って解くように頑張ります。

お礼日時：2008/06/24 10:37

No.3 回答者： take_5 回答日時： 2008/06/23 12:52

＞「px+qy+r=0と、p`x+q`y+r`=0が表す直線が一致する条件は、p:q:r=p`:q`:r`である」とあるのですが、今までずっと教わってきた係数比較ではダメなのでしょうか？

駄目です。

(1)と(2)を通る曲線は、m、nを0以外の定数として、m{x^2+y^2-9}＋n{(x-a)^2+(y-b)^2-4}＝0で表せる。
これを整理すると、（m+n）x＾2＋（m+n）y＾2-2anx＋2bny＋（na＾2-9m+nb＾2-4n）＝0.‥‥(1)
これが、直線を表すからm+n＝0.　この時、m≠0より　(1)は2ax＋2by-（a＾2＋5+b＾2）＝0.‥‥(2)
これが、直線：6x+2y-15＝0と一致するから、各々の係数が比例すれば良い。
即ち、2a/6＝2b/2＝（a＾2＋5+b＾2）/15.‥‥(3)
(3)より、a＝3b、and、b＝（a＾2＋5+b＾2）/15であるから、連立して解くと　（a、b）＝（3、1）、（3/2、1/2）。

この回答へのお礼

takaさま、お返事ありがとうございます！

係数比較ではだめなのですね・・・
変数を含む係数の式と、係数の固定された式の比較は、
各々の係数が比例しなければならないから、
まさに、x+2y+1=0と2x+4y+2=0の世界なのですね。

お礼日時：2008/06/24 10:30

No.2 回答者： jung_taro 回答日時： 2008/06/23 05:10

回答申し上げます。

＃１さんのご回答こそ、この疑問に対する回答の本質だと思いますのでまずは＃１さんのお書きになられたことをよくご理解ください。

そのうえで、
＞今までずっと教わってきた係数比較ではダメなのでしょうか？
という疑問についてお答えしたいと思います。

2ax+2by-(a^2+b^2+5)=0…（３式）と
6x+2y-15=0…（４式）の係数比較は可能といえば可能です。
ただし、先ほどの＃１さんのおっしゃっていることを理解しないと
解答を誤ってしまう可能性があるのでご注意下さい。

まず、（３式）についてですが、こちらはａやｂによっていくらでも
直線の式を変えられますが、
（４式）については変数がないため（３式）と同じ式になるかの比較はこのままでは出来ません。（理由は＃１さんのご発言にあります。）
ですので、（４式）については両辺にｋをかけて
6kx+2ky-15k=0 とします。これで（３式）と同じ式になるかの比較の準備は整いました。

これで係数比較をしてみると、
2a=6k
2b=2k
-(a^2+b^2+5)=-15k　…（５式）
となりますから、
a=3k　、b=k　となり、これを（５式）に代入して

-((3k)^2+k^2+5)=-15k
つまり　10k^2-5k+5=0
⇔5(k-1)(2k-1)=0
ですから、　ｋ＝1、1/2 となります。
よって、(a,b)=(3,1),(3/2 , 1/2)　となるわけです。

実際にこれをちゃんと説明しようとすると
＞「px+qy+r=0と、p`x+q`y+r`=0が表す直線が一致する条件は、p:q:r=p`:q`:r`である」
と同じことを言っていることになりますから、

ご質問者さまの
＞今までずっと教わってきた係数比較ではダメなのでしょうか？
についての質問の答えとしては、
p:q:r=p`:q`:r`　とすることも係数比較と同じことを意味しています
と言えるのではないでしょうか。→つまり係数比較でも解けますということになりますね。

ご参考になればと思います。

この回答へのお礼

わかりやすい説明、どうもありがとうございます

(3)と(4)がこのままでは係数比較をすることができないのは、
「比較した時、a,bなど自由に動く(3)式の係数（文字が）が、(4)式の固定された各係数の倍数へと動いてしまって比べられない」
と言う理解でよろしいでしょうか？

(4)式にkを掛けるのは、自由に動くa,bと自由に動くkを比較することで、(3)式と(4)式の『係数の比』を求めたのですね。

まだいまいち頭の整理がついていないかもしれないので、もう少しじっくり考えてみます。

お礼日時：2008/06/24 10:23