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No.3ベストアンサー
- 回答日時:
因数分解すると
n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30
=n(n+1)(2n+1){3n(n+1)-1}/30
n、n+1のどちらかは必ず2の倍数
n,n+1のどちらも3の倍数でないのは
n=3k+1のときで(kは整数)
2n+1=6k+2+1=6k+3=3(2k+1)
なので、このとき、(2n+1)は3の倍数。
結局、n(n+1)(2n+1)は6の倍数になる。
また、
n=5k+m(kは整数、m=0,1,2,3,4)
とおけば
3n(n+1)-1=15k(5k+2m+1)+3m^2+3m-1
m=0のとき
n=5k
m=1のとき
3n(n+1)-1=15k(5k+3)+5
m=2のとき
2n+1=10n+4+1=5(2n+2)
m=3のとき
3n(n+1)-1=15k(5k+7)+35
m=4のとき
n+1=5k+4+1=5(k+1)
となり、必ず5の因数を含む。
したがって、
n(n+1)(2n+1){3n(n+1)-1}
は30の倍数となる。
No.5
- 回答日時:
数列の各項が自然数であることを証明しろっていうんだから、初項は自然数だろうし、また、階差数列も自然数にならないとまずいでしょうね。
S(n) = n^5/5 + n^4/2 + n^3/3 - n/30
とおくと、
S(1) = 1
n = k のとき S(k) が自然数だったとすると、
S(k+1) - S(k) = k^4 + 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1
より、S(k+1) も自然数だよね。
∴ S(n) は自然数
って、普通に計算してならなかった?
No.4
- 回答日時:
計算違いはないと思うけど。
。。。。。?先ず、相連続するN個の自然数の積は N!で割り切れる。。。これを知ってることが前提。
M=n^5/5+n^4/2+n^3/3-n/30=(6n^5+15n^4+10n^3-n)/30=6*{(n+2)*(n+1)*(n)*(n-1)*(n-2)}/30+15*{(n+2)*(n+1)*(n)*(n-1)}/30+10*{(n+1)*(n)*(n-1)}/30+15*{(n+1)*(n)}/30と変形できる。
従って、{(n+2)*(n+1)*(n)*(n-1)*(n-2)は5の倍数、{(n+2)*(n+1)*(n)*(n-1)は4の倍数、{(n+1)*(n)*(n-1)は3の倍数、(n+1)*(n)は2の倍数。
よって、全ての項は30で割り切れるから、nを自然数とするとき、n^5/5+n^4/2+n^3/3-n/30は自然数である。
No.2
- 回答日時:
もうちょっと普通の解法のヒントもやっぱりあげとく.
1/6(n*(n+1)*(2*n+1))* 1/5(3*n^2+3*n-1))
と因数分解しておくのがポイントだ
1/6(n*(n+1)*(2*n+1))
はΣk^2の和だから絶対に自然数
#Σk^2の和を使わずに自然数だってこと証明できる?
ということで,問題は5の倍数が分子にでてくるかってだけ.
#2と3と5は互いに素であることに注意
ということで,この考え方だと
以下の5通りに場合わけするのが自然.
n=5k, 5k-1, 5k-2, 5k-3, 5k-4 (k=1,2,3,....)
このそれぞれで計算していけばよい.
常に分子は6の倍数であるから
それぞれのパターンにおいては
更に分子に5の倍数がでてくることを
示せばよい.
No.1
- 回答日時:
ヒントだけ教えてあげるから頑張りな
帰納法で解くと結構しんどいからそうではない方法を.
Σk = n(n+1)/2
Σk^2 = n(n+1)(2n+1)/6
Σk^3 = n^2(n+1)^2/4
ここまではまあ普通に参考書にもでてるな.
じゃあな
Σk^4
はどうなる? 教科書に書いてある Σk^2 の計算と同じように
やってごらん.
なお,与えられている式を因数分解しておくと綺麗でいいぞ
きちんとできると結構感動できる.
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