nを自然数とするとき、n^5/5+n^4/2+n^3/3-n/30が自然数であることを証明せよ。

高校数学の教科書の数列のところの一番最後の一番難しい章末問題で
nを自然数とするとき、n^5/5+n^4/2+n^3/3-n/30が自然数であることを証明せよ。
って問題なんですが、とりあえず数学的帰納法で解くんだろうけど全然解けそうにないです。
月曜日までにやってこないとやばいので、だれか助けてください！！

No.3 ベストアンサー 回答者： Meowth 回答日時： 2008/07/12 14:11

因数分解すると

n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30
=n(n+1)(2n+1){3n(n+1)-1}/30
n、n+1のどちらかは必ず2の倍数

n,n+1のどちらも３の倍数でないのは
n=3k+1のときで（kは整数）
2n+1=6k+2+1=6k+3＝3(2k+1)
なので、このとき、(2n+1)は３の倍数。
結局、n(n+1)(2n+1)は6の倍数になる。
また、
n=5k+m（kは整数、m=0,1,2,3,4)
とおけば
3n(n+1)-1＝15k(5k+2m+1)+3m^2+3m-1
m=0のとき
n=5k
m＝1のとき
3n(n+1)-1＝15k(5k+3)+5
m＝2のとき
2n+1=10n+4+1=5(2n+2)
m=3のとき
3n(n+1)-1＝15k(5k+7)+35
m=4のとき
n+1=5k+4+1=5(k+1)
となり、必ず５の因数を含む。
したがって、
n(n+1)(2n+1){3n(n+1)-1}
は30の倍数となる。

No.5 回答者： kumipapa 回答日時： 2008/07/13 18:16

数列の各項が自然数であることを証明しろっていうんだから、初項は自然数だろうし、また、階差数列も自然数にならないとまずいでしょうね。

S(n) = n^5/5 + n^4/2 + n^3/3 - n/30
とおくと、
S(1) = 1
n = k のとき S(k) が自然数だったとすると、
S(k+1) - S(k) = k^4 + 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1
より、S(k+1) も自然数だよね。

∴ S(n) は自然数

って、普通に計算してならなかった？

No.4 回答者： take_5 回答日時： 2008/07/12 17:01

計算違いはないと思うけど。

。。。。。？

先ず、相連続するＮ個の自然数の積は　Ｎ！で割り切れる。。。これを知ってることが前提。

Ｍ＝n^5/5+n^4/2+n^3/3-n/30＝（6n＾5＋15n＾4＋10n＾3-n）/30＝6*{（n+2）*（n+1）*（n）*（n-1）*（n-2）}/30＋15*{（n+2）*（n+1）*（n）*（n-1）}/30＋10*{（n+1）*（n）*（n-1）}/30＋15*{（n+1）*（n）}/30と変形できる。

従って、{（n+2）*（n+1）*（n）*（n-1）*（n-2）は5の倍数、{（n+2）*（n+1）*（n）*（n-1）は4の倍数、{（n+1）*（n）*（n-1）は3の倍数、（n+1）*（n）は2の倍数。
よって、全ての項は30で割り切れるから、nを自然数とするとき、n^5/5+n^4/2+n^3/3-n/30は自然数である。

No.2 回答者： kabaokaba 回答日時： 2008/07/12 13:51

もうちょっと普通の解法のヒントもやっぱりあげとく．

1/6(n*(n+1)*(2*n+1))* 1/5(3*n^2+3*n-1))
と因数分解しておくのがポイントだ
1/6(n*(n+1)*(2*n+1))
はΣk^2の和だから絶対に自然数
＃Σk^2の和を使わずに自然数だってこと証明できる？
ということで，問題は5の倍数が分子にでてくるかってだけ．
＃2と3と5は互いに素であることに注意

ということで，この考え方だと
以下の5通りに場合わけするのが自然．
n=5k, 5k-1, 5k-2, 5k-3, 5k-4 (k=1,2,3,....)
このそれぞれで計算していけばよい．
常に分子は6の倍数であるから
それぞれのパターンにおいては
更に分子に5の倍数がでてくることを
示せばよい．

No.1 回答者： kabaokaba 回答日時： 2008/07/12 13:41

ヒントだけ教えてあげるから頑張りな

帰納法で解くと結構しんどいからそうではない方法を．

Σk = n(n+1)/2
Σk^2 = n(n+1)(2n+1)/6
Σk^3 = n^2(n+1)^2/4

ここまではまあ普通に参考書にもでてるな．
じゃあな
Σk^4
はどうなる？　教科書に書いてある Σk^2 の計算と同じように
やってごらん．
なお，与えられている式を因数分解しておくと綺麗でいいぞ
きちんとできると結構感動できる．