フーリエ余弦変換について

f(t)=
1(0<=t<a)
1/2(t=a)
0(t>a)

という関数をフーリエ余弦変換したいのですが、私が計算すると値が０になってしまいます・・・。
私の計算式は、2/a∫(0->a)1*cos(kωt) dt (ω=2π/a)です。、ひとつ気になるのがt=aの時のf(t)で、1/2ではあるもののどう計算に入れたらいいか検討がつかず、抜いてしまいました。

どうしたら解けるのでしょうか・・・アドバイスをお願いします。

No.1 回答者： info22 回答日時： 2008/07/23 18:13

f(t)の関数の定義と周期のどちらかが間違っていると思います。

それを正していただかないと他の質問の回答ができません。

この回答への補足

回答どうもありがとうございます！
どちらも書き間違いはないようです、このような関数はありえないのでしょうか？問題自体が間違っているということでしょうか・・・
解けるという形はどのような関数の定義、周期になるのでしょうか

補足日時：2008/07/23 18:38

No.2 回答者： Sin0 回答日時： 2008/07/23 19:33

これはt>aでも定義されている関数なので周期関数から一般の関数（つまり周期が0<X<∞）に拡張したフーリエ積分をしなければなりません。

なので-∞<X<∞に偶関数で拡張するということです。

おそらくフーリエ余弦変換をフーリエ余弦級数と勘違いしておられるのでは？
またフーリエ級数・積分はは区分的に連続であればであれば表せます。不連続点でも左側極限と右側極限の和の1/2となるのでこの場合のt=aでそれを満たしているので、問題はありません。

OKですか？教科書を見直すといいと思います。

No.3 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2008/07/23 19:36

#1です。

補足質問の回答
＞どちらも書き間違いはないようです、このような関数はありえないのでしょうか？
＞問題自体が間違っているということでしょうか・・

質問の言葉どおり、フーリエ余弦変換（フーリエ積分の一種）を求める問題であるなら、参考URLにある定義式を使って積分します。

フーリエ級数展開は周期関数の展開ですが、フーリエ余弦変換だと孤立
波の[0,∞]の積分になります。
つまり、あなたの解答はまったく的はずれという事になります。

参考URLのFc(ω)の変換式を使います。
Fc(ω)=∫(0→∞)f(t)cos(ωt)dt
=∫(0→a)cos(ωt)dt
=sin(aω)/ω
と成ります。

参考URL：http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/di …

No.4 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2008/07/23 19:37

マイナス側がどうなってるのか気になりますが、0だとして普通に積分すれば

∫(0->a)1*cos(kωt) dt ＝ [sin(kωt)/kω](0->a)=sin(kωa)/kω
= a sin(kωa)/kωa = a sinc(kωa)

ですね。フーリエ係数じゃないので、積分前の2/aは不要でしょう。
kは実数なので0にはなりません。

マイナス側が対称なら2a sinc(kωa)

>1/2(t=a)

は私もわかりません。測度が0なら積分には影響しないような・・・・