逆行列の性質の証明

(AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)を証明せよという問題なんですが、

ABの逆行列をXとする
X(AB)=E(Eは単位行列)
両辺にB^(-1),A^(-1)を順に右からかけると
X=B^(-1)A^(-1) (証明終わり)

としたのですがダメと言われました。教科書の証明もみたのですが何がダメだったのかよくわかりません。どこがいけないのですか？

No.5 ベストアンサー 回答者： luckysquar 回答日時： 2008/07/27 00:28

AとBが正則行列であることが前提ですが、

B^(-1)A^(-1)の左からABを掛けてあげると
(AB)B^(-1)A^(-1)=E

これはつまり、行列ABは正則行列でABという行列に対してB^(-1)A^(-1)を逆行列に持つことを示している。

よって、以下のようになる。
(AB)(AB)^(-1)=(AB)B^(-1)A^(-1)

以上より、等式は示された。

こんなんでどうでしょうか？

No.4 回答者： noname#101087 回答日時： 2008/07/24 09:32

すんません。

誤り訂正。

おそらく、「左」からかけた場合も成立することを明記しないと....

No.3 回答者： noname#101087 回答日時： 2008/07/24 09:30

>両辺にB^(-1),A^(-1)を順に右からかけると

>X=B^(-1)A^(-1) (証明終わり)
>.... としたのですがダメと言われました。

おそらく、右からかけた場合も成立することを明記しないと、
中途半端(右逆行列であることしか示してない)なのだと愚考します。

No.2 回答者： guuman 回答日時： 2008/07/24 08:35

「ABの逆行列をXとする」

としているが
A,Bそれぞれに逆行列が存在していることは式中に使われているので明白だが
ABに逆行列が存在することは保証されていない
この問題にはABに逆行列が存在することを示すことも要求している
だから最初からはこうおけない
＃１はABに逆行列が存在することを使っていないので問題ない

No.1 回答者： ant-28 回答日時： 2008/07/24 07:54

私はその教科書を見ていないので、なんとも言えませんが、定義が成り立てば良いと言う方針であれば、下記に示す通りです。

解)
ABB^(-1)A^(-1)
=AEA^(-1)
=AA^(-1)
=E …①

また
B^(-1)A^(-1)AB
=B^(-1)EB
=B^(-1)B
=E …②

①②より
(AB) ^(-1)=B^(-1)A^(-1)