三角関数の複素フーリエ級数展開

f(x)=sin^3(x)を複素フーリエ級数展開する問題なんですけども
Cn=1/2π∫[-π,π]sin^3(x)*exp(-jnx)dx
=1/2π∫[-π,π]{(exp(jx)-exp(-jx))/2j}^3*exp(-jnx)dx
と変形した後の式の整理ができません。というか↑の変形でいいのでしょうか？

No.1 回答者： Sin0 回答日時： 2008/07/25 13:28

合ってていますよ。

ただ複素数をj表記するのは良くありません。ちゃんとiで。

展開して整理すればeの項のみの式に整理できますよね。展開が面倒なだけで積分計算はスムーズに行くでしょう。

この回答への補足

とりあえず無理やりやってみましたが答えがとても長いものになってしまいました・・・
f(x)を展開すると
f(x)=-1/2π∫[-π,π]{exp(3-n)ix-3exp(1-n)ix+3exp(-1-n)ix-exp(-3-n)ix}/8idx
になってどうもこっからの整理が怪しいです・・・

補足日時：2008/07/25 14:31

No.2 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2008/07/25 16:31

A#1の補足質問の式の左辺はf(t)では無くCnですね。

右辺は合っていますが式が複雑ですから
C0=0,C1,C2,C3,Cn(n≧4)を個別に計算すれば何とかなると思います。
(Cn^*=C-nで求まります。）
あとは計算間違いをしないように、地道に計算していくだけですね。

もっと簡単に結果を求めるなら
sin^3(x)は奇関数ですからan=0（n≧0）なので
f(t)=Σbn*sin(nx)
と成ります。
sin^3(nx)=(3/4)sin(x)-(1/4)sin(3x)…(A)
と変形できますから
b1=3/4,b2=0,b3=-1/4,bn=0(n≧4)

f(t)=Σ[n=-∞,∞] Cn*exp(-inx)
のCnは
Cn=-ibn/2,C-n=Cn^*=ibn/2(n≧1)で
C0=0
C1=-(3i/8),C-1=3i/8
C2=C-2=0
C3=i/8,C-3=-i/8
Cn=C-n=0(n≧4)と成りますね。

特に係数Cnを明示的に示す必要が無ければ
(A)の式にオイラーの関係式を逆に適用して
sin^3(x)=(3/4){exp(ix)-exp(-ix)}/(2i) -(1/4){exp(-3ix)-exp(-3ix)}/(2i)
=-(3i/8)exp(ix)+(3i/8)exp(-ix)+(i/8)exp(3ix)-(i/8)exp(-i3x)
と複素フィーリエ級数展開が求まりますね。

この回答へのお礼

なるほど、もう一度頑張って解いてみます。

お礼日時：2008/07/25 17:25