関数f(f(x))について

関数f(x)（0≦ｘ≦4）を下のように定義する時、次の関数の式をかけ。
　
ｆ（ｘ）＝2ｘ（0≦ｘ＜2）
　　　　　8－2ｘ（２≦ｘ≦4）

（1）ｙ＝ｆ（ｆ（ｘ））
です。
ｘにｆ（ｘ）を代入することは分かるんですが、どうも理解が出来ません。類題をやるとすぐミスってしまいます。コツなんかを知っている人是非教えて下さい。よろしくお願いします。

No.1 回答者： jo-zen 回答日時： 2008/08/13 11:48

y=ｆ（ｘ）

z=ｆ（ｙ）

というように考えた方がわかりやすいと思います。記号を少し変えただけですが、見通しがよくなると思います。

No.2 回答者： info22 回答日時： 2008/08/13 12:14

y=f(x)のグラフを描き、その特徴をじっくりと見取ることです。

二等辺三角形（高さ4、底辺4）になりますね。
つまり
xが0～4まで増加する時
x=0～2ではy=2x
x=2～4ではy=4で折り返したy=2(4-x)

f(x)=tとおいた
y=f(t)でtに対して、上記と同じ規則を適用してグラフを描きます。

その結果
x=0～2に対しt=0～4まで変化しますので、
二等辺三角形（高さ4、底辺2）が１つできます。
x=2～4に対してt=4～0まで変化しますので
二等辺三角形（高さ4、底辺2）が１つできます。
つまり
x=0～4に対して2個の二等辺三角形（高さ4、底辺2）が横に並んだグラフになります。
グラフから各直線（二等辺三角形の斜辺の線分）の方程式を書き下ろせばいいですね。

単純に式的に解を求める場合、混乱するので、上記のグラフで確認しながら、解の式を導出するようにすれば良いでしょう。

y=2(2x)=4x (0<=x<1)
y=8-2(2x)=4(2-x) (1<=x<2)
y=8-2(8-2x)=4(x-2) (2<=x<3)
y=2(8-2x)=4(4-x) (3<=x<=4)

No.3 回答者： inara1 回答日時： 2008/08/13 12:18

ANo.2さんと同じ内容です（グラフをAAで描くと修正に時間がかかる・・）。

同じ f(x) を使うとややこしいので、２番目の関数を g(y) と書くことにすれば、問題は、y = f(x) としたときの g(y) を求めるということです。最初の f(x) は x の値が 2 を境にして関数形が変わり、次の g(y) は y の値が 2 を境にして関数形が変わるということ考えればいいのですが、頭の中だけで考えるとパンクします。グラフを書いて場合分けすると理解できるはずです。

y = f(x) のグラフを書くと
　　y
　　↑
　4│ f(x) = 2*x ／＼
　　｜　　↓　／　　　　 ＼← f(x) = 8 - 2*x
　2 │　　／　　　　　　　　 ＼
　　│／　　　　　　　　　　　　 ＼
　　└――――――――――→ x
　　0　　　　1　　　　2　　　3　　　4
f(x)　　2x　　 2x　 　8-2x　8-2x
g(y)　　2y　　8-2y　 8-2y　2y

となります。 f(x) の定義にあるように、x = 2 を境にグラフの形が変わっていますが、その次の g(y) を考えるときに、y の値が 2 を境に g(y) の形が変わるということを考えれば、x = 1, 2, 3, 4 のところで、f(x) と g(y) の関数形が変わるということになります。つまり
　　　0≦x＜1 のとき f(x) = 2*x　なので y の範囲は 0≦y＜2 。　これは 0≦y＜2 の範囲にあるので g(y) = 2*y
　　　1≦x＜2 のとき f(x) = 2*x　なので y の範囲は 2≦y＜4 。　これは 2≦y≦4 の範囲にあるので g(y) = 8 - 2*y
　　　2≦x≦3 のとき f(x) = 8 - 2*x　なので y の範囲は 2≦y≦4 。　これは 2≦y≦4 の範囲にあるので g(y) = 8 - 2*y
　　　3＜x≦4 のとき　f(x) = 8 - 2*x　なので y の範囲は 0≦y＜2 。　これは 0≦y＜2 の範囲にあるので g(y) = 2*y
ということです。あとはこの４つの領域について、g( f(x) ) を計算すればいいです。

問題の関数は x = 2 で連続しているのでいいのですが、不連続な関数の場合、＜ と ≦ のどちらを使うべきかちゃんと考えてください（上の場合分けでも＜と≦を使い分けています）。