仕事を頑張る人のおしりトラブル対策

関数f(x)(0≦x≦4)を下のように定義する時、次の関数の式をかけ。
 
f(x)=2x(0≦x<2)
     8-2x(2≦x≦4)

(1)y=f(f(x))
です。
xにf(x)を代入することは分かるんですが、どうも理解が出来ません。類題をやるとすぐミスってしまいます。コツなんかを知っている人是非教えて下さい。よろしくお願いします。

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A 回答 (3件)

ANo.2さんと同じ内容です(グラフをAAで描くと修正に時間がかかる・・)。



同じ f(x) を使うとややこしいので、2番目の関数を g(y) と書くことにすれば、問題は、y = f(x) としたときの g(y) を求めるということです。最初の f(x) は x の値が 2 を境にして関数形が変わり、次の g(y) は y の値が 2 を境にして関数形が変わるということ考えればいいのですが、頭の中だけで考えるとパンクします。グラフを書いて場合分けすると理解できるはずです。

y = f(x) のグラフを書くと
  y
  ↑
 4│ f(x) = 2*x /\
  |  ↓ /     \← f(x) = 8 - 2*x
 2 │  /         \
  │/             \
  └――――――――――→ x
  0    1    2   3   4
f(x)  2x   2x   8-2x 8-2x
g(y)  2y  8-2y  8-2y 2y

となります。 f(x) の定義にあるように、x = 2 を境にグラフの形が変わっていますが、その次の g(y) を考えるときに、y の値が 2 を境に g(y) の形が変わるということを考えれば、x = 1, 2, 3, 4 のところで、f(x) と g(y) の関数形が変わるということになります。つまり
   0≦x<1 のとき f(x) = 2*x なので y の範囲は 0≦y<2 。 これは 0≦y<2 の範囲にあるので g(y) = 2*y
   1≦x<2 のとき f(x) = 2*x なので y の範囲は 2≦y<4 。 これは 2≦y≦4 の範囲にあるので g(y) = 8 - 2*y
   2≦x≦3 のとき f(x) = 8 - 2*x なので y の範囲は 2≦y≦4 。 これは 2≦y≦4 の範囲にあるので g(y) = 8 - 2*y
   3<x≦4 のとき f(x) = 8 - 2*x なので y の範囲は 0≦y<2 。 これは 0≦y<2 の範囲にあるので g(y) = 2*y
ということです。あとはこの4つの領域について、g( f(x) ) を計算すればいいです。

問題の関数は x = 2 で連続しているのでいいのですが、不連続な関数の場合、< と ≦ のどちらを使うべきかちゃんと考えてください(上の場合分けでも<と≦を使い分けています)。
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y=f(x)のグラフを描き、その特徴をじっくりと見取ることです。


二等辺三角形(高さ4、底辺4)になりますね。
つまり
xが0~4まで増加する時
x=0~2ではy=2x
x=2~4ではy=4で折り返したy=2(4-x)

f(x)=tとおいた
y=f(t)でtに対して、上記と同じ規則を適用してグラフを描きます。

その結果
x=0~2に対しt=0~4まで変化しますので、
二等辺三角形(高さ4、底辺2)が1つできます。
x=2~4に対してt=4~0まで変化しますので
二等辺三角形(高さ4、底辺2)が1つできます。
つまり
x=0~4に対して2個の二等辺三角形(高さ4、底辺2)が横に並んだグラフになります。
グラフから各直線(二等辺三角形の斜辺の線分)の方程式を書き下ろせばいいですね。

単純に式的に解を求める場合、混乱するので、上記のグラフで確認しながら、解の式を導出するようにすれば良いでしょう。

y=2(2x)=4x (0<=x<1)
y=8-2(2x)=4(2-x) (1<=x<2)
y=8-2(8-2x)=4(x-2) (2<=x<3)
y=2(8-2x)=4(4-x) (3<=x<=4)
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y=f(x)


z=f(y)

というように考えた方がわかりやすいと思います。記号を少し変えただけですが、見通しがよくなると思います。
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