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X^(1/2)・Y^(1/2)=3
X^(1/4)・Y^(3/4)=2

の連立方程式を教えて下さい
どうしてもわからないのでお願いします

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4X二乗」に関するQ&A: 2x+4≦x二乗

A 回答 (4件)

X^(1/2)・Y^(1/2)=3 ・・・(1)


X^(1/4)・Y^(3/4)=2 ・・・(2)

(1)を二乗する
{X^(1/2)・Y^(1/2)}^2=3^2
              X・Y=9・・・(3)

(2)を四乗する
{X^(1/4)・Y^(3/4)}^4=2^4
             X・Y^3=16
X・Y・Y^2=16になり、(3)より
9Y^2=16
Y^2=16/9
Y=√(16/9)
 =4/3

Y=4/3を式(3)に代入すると
X・4/3=9より
X=9×3/4
 =27/4
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takechanman04さん、こんばんは。



>X^(1/2)・Y^(1/2)=3

この式から、
x^(1/2)*y^(1/2)=(x*y)^(1/2)=3
(x*y)=3*3=9・・・・・(★)

>X^(1/4)・Y^(3/4)=2

この式から、
x^(1/4)*y^(3/4)=(x*y^3)^(1/4)=2
(x*y^3)=2*2*2*2
xy^3=16・・・・・・・(☆)

(☆)÷(★)を計算すると
y^2=16/9
y>0ですから、このときのyはy=4/3

これを(★)に代入して
(4/3)x=9
x=9*3/4
x=27/4
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1番目の式を2乗すると


XY=9・・・・(1)
2番目の式を4乗すると
XY^3=16・・・(2)

(2)÷(1)
Y^2=16/9

指数が分数のときはXやYは正

Y=4/3
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両辺logを取る、とか。

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Q指数対数の連立方程式

以下の問題で行き詰っています。


1.連立方程式x+y=log(2)24 …(1) 2^(-x)+2^(-y)=5/12 …(2) について、2^x + 2^y を求めよ。


2.log(10)25 の小数部分をxとするとき、10^(1-x) を求めよ。



実際はこの誘導のあと、方程式の2解を求めさせるのですが、そのあたりは典型例なので大丈夫だと思います。
ここ数日粘ってみているのですが、学力が至らず、過去問などを漁ってみても類題が見つかりませんでした。
難しく考えすぎているのでしょうか・・・。
見づらい文章で申し訳ありませんが、ご教授ください。

Aベストアンサー

1.
(1)より、
2^(x+y)=24
(2^x)・(2^y)=24 …… (3)
2^x=s,2^y=tとおくと、
(2)より、
(1/s)+(1/t)=5/12
(s+t)/(s・t)=5/12 …… (4)
(3)より、
s・t=24 …… (5)
(5)を(4)に代入して
s+t=(2^x)+(2^y)=10

2.
log₁₀25=log₁₀(10×2.5)=log₁₀10+log₁₀2.5
よって、log₁₀25の小数部分はlog₁₀2.5=log₁₀(10/4)=log₁₀10-log₁₀4=1-log₁₀4=x
∴10^(1-x)=10^(log₁₀4)=4

Q指数関数を含む連立方程式:効率的な数値解法

X : 未知の n×m 実行列 (2 <= m < n)
A : 既知の m×m 実正則行列(m次正則行列)
と置くとき,
X = e(X) A …(1)
が成り立つことがわかっています.但し,e(X)は,Xの各要素xをその指数関数exp(x)で置き換えたn×m 実行列を表すこととします.式(1)の右辺はe(X)とAの積です.

このとき,式(1)をXについて解きたいと考えています.恐らく,代数的に解くことは無理で,数値解法(数値アルゴリズム)を利用するほかないと思います.

この問題の場合,どのような数値解法が効率的でしょうか?
数値解法に疎いので,アドバイスを頂ければ嬉しいです.

Aベストアンサー

Y(X) = X - e(X) A

とYを定義すると、Yが0行列になるようなXが解と言えるので、

f:R^(mn)∋Y→R
f(Y)= Σ{(yij)^2}
(Yの各成分を2乗したものの、総和)

を評価関数として最急降下法は使えますし、簡単です。もっと効率的なものだと非線形共役勾配法(←アルゴリズムは知らないので使えるか不明。名前的に使えそう(笑))、ニュートン法、などが使えると思います。ただ、これより効率のいい方法があるのかも知れません。あくまで、最適化は少しかじりましたが、非線形方程式の解法を勉強したわけではない私の知りうる範囲です。

勉強するところから始めるなら最急降下法がもっとも効率いいです。

Q指数関数 連立方程式 未知数3個(A1,A2,a)

指数関数 連立方程式 未知数3個(A1,A2,a)
I(x1)=A1*exp(-a*x1)+A2*exp(a*x1)
I(x2)=A1*exp(-a*x2)+A2*exp(a*x2)
I(x2)=A1*exp(-a*x1)+A2*exp(a*x3)

上の三本の連立方程式があります。未知数は3個で、x1~x3とI(x1)~I(x3)は既知です。この式を解くにはどのようにすればよいでしょうか。紙とペンだけで解けるのでしょうか。教えていただければ嬉しいです。

Aベストアンサー

少々、逆行。

>(x1,x2,x3)=(1.5, 4.5, 7.5)
>(I1,I2,I3)=(6.350E-04, 5.937E-04, 5.293E-04)
>という値を用いたときは、aを求めることができませんでした。この場合は収束しないのでしょうか?

解存否テストの一案です。

 {x1,x2}, {I1,I2} から勘定した {A1, A2} の正負から、
  両者 (A1, A2) が異符号なら、可解。
  両者が同符号なら、I = A1*e^(-ax) + A2*e^(ax) は極値 Ie をもち、I3 が範囲内なら可解。
  範囲外なら不可解。

引用例は、I3 範囲外で不可解。
 A1, A2 同符号。
 Ie = 5.8938E-04 (極小)、I3 = 5.293E-04 が Ie 未満。

…らしいので、ご吟味ください。
  

Q指数・対数関数の最大最小

関数の最大値、最小値があれば、それを求めよ。また、そのときのxの値を求めよ。

(1)y= 3^(2x)-6・3^(x)+4

(2)y=-4^(x)+4・2^(x)+2 (-1≦x≦3)

(3)y=(log_2 2/x)(log_2 x/8)
 
(4)y=-(log_(2)x)^2 -4log_(2)x+5  (1/ 8≦x≦4)

Aベストアンサー

(1)
y= 3^(2x)-6・3^(x)+4
=(3^x-3)^2 -5
3^x=3 すなわち x=1 のとき最小値=-5 をとる。
最大値なし。

(2)
y=-4^(x)+4・2^(x)+2 (-1≦x≦3)
=6-(2^x-2)^2 (1/2≦2^x≦8)
2^x=2 すなわち x=1 のとき最大値=6,
2^x=8 すなわち x=3 のとき最小値=-30

(3)
y=(log_2(2/x))(log_2(x/8))
=(1-log_2(x))(log_2(x)-3)
=(1-log_2(x))(log_2(x)-3)
log_2(x)=Xとおくと
y=(1-X)(X-3)=1-(X-2)^2
X=2 すなわち x=4 のとき 最大値=1。 最小値なし。
 
(4)
y=-(log_(2)x)^2 -4log_(2)x+5  (1/ 8≦x≦4)
=9-{log_(2)(x)+2}^2
log_(2)x=-2 すなわち x=2^(-2)=1/4 のとき 最大値=9
log_(2)x=2 すなわち x=4 のとき 最小値=-7


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