大学入試問題 場合の数

福岡大学　医学部の入試問題なんですが、全く分からないというわけではなく一応自分なりに答えは出せるんですが間違っています。なぜ間違っているか教えてください。
＜問題＞
大人3人、子供6人をa,b,cの３グループに分けるとき、どのグループにも子供も大人も少なくとも１人はいるように割り当てる方法は何通りか
＜僕の答え＞
ⅰ：大人３人をまず振り分ける→３！
ⅱ：次に、abcに子供三人を１人ずつ割り当てる→６Ｃ３（子６から３選ぶ）×３！
3；最後に残りの３人を並べるがその３人はａｂｃどれでも自由に割り当てられるから→３³
すべて掛け合わし3240×6。
＜解答＞
3240。　ⅱの３！がなければ解答と同じになるから、たぶんそこが間違っていると思うのですがなんでその３！がいらないのでしょう？

教えてください。　

No.2 ベストアンサー 回答者： kumipapa 回答日時： 2008/09/19 21:49

ⅱ の 3! 自体が間違っているというよりも、ⅱ と ⅲ で重複があることが間違い。

子供に番号を付けて 1,2,3,4,5,6 とすると、
ⅱで3人選んで並べるとき、例１　aに1, bに2, cに3　という組み合わせと　例２　aに4, bに2, cに3　とは別の組み合わせと勘定されますが、それぞれの例に対してⅲで「残り３人とも a」が許されるから、例1、例２ともに aに1,4,5,6 bに2, cに3 と同じ組み合わせになるにも関わらず、異なる組み合わせとして計算されてしまう。分かりますか？
丁寧に、
２つのグループで子供０　・・・ 3Ｃ1 = 3 通り
１つのグループで子供０　・・・ 3Ｃ1 × ( 2^6 - 2 ) = 186 通り
よって、子供の分け方は 3^6 - ・・・
これに大人の分け方 3! を掛ける。
と考えても解くのに時間はかかりません。

No.1 回答者： Quattro99 回答日時： 2008/09/19 21:40

子どもをP、Q、R、S、T、Uとします。

iiでaにP、bにQ、cにRを割り当て、iiiでaにS、bにT、cにUを割り当てた場合と、
iiでaにS、bにT、cにUを割り当て、iiiでaにP、bにQ、cにRを割り当てた場合、
子どもの割り当てかたは全く同じになってしまっており、ダブって数えていることになります。

6人の子どもを割り当てられないグループがあってもよいという条件でa、b、cに割り当てる場合の数から、割り当てられないグループがある場合の数を引けばよいのではないかと思います。割り当てられないグループがある場合を考えるとき、ちょっと注意する必要があります。