No.1ベストアンサー
- 回答日時:
「R=(1/2*2^0.5)*((z/a)^1.5)*(2-Z*r/a)exp(-zr/2a)
a=ボーア半径、z=原子番号
で表されるそうで、
D=r^2*R^2を微分して軌道半径の極大値を求めれば良いはずですが」
ということですので、
計算の参考程度まで
K=(1/2*2^0.5)*((z/a)^1.5)
R(r)=K*(2-Z*r/a)exp(-zr/2a)
R(r)^2=K^2*(2-Z*r/a)^2exp2(-zr/2a)
=K^2*(2-Z*r/a)^2exp(-zr/a)=K^2{4- 2*Z*r/a+(Z*r/a)^2}exp(-zr/a)
D=r^2*R^2=K^2{4r^2-2r^3(Z/a)+r^4(Z/a)^2)}exp(-zr/a)
(Z/a)=A
dD/dr=K^2{8r-6r^2A+4r^3A^2)}exp(-Ar)+
K^2{4r^2-2r^3A+r^4A^2)}(-A)exp(-Ar)
=K^2[8r-10r^2A+6r^3A^2-r^4A^3]exp(-Ar)
K>0, exp(-Ar)>0, r>0
{8r-10r^2A+6r^3A^2-r^4A^3}=0
r{8-10rA+6r^2A^2-r^3A^3}=0
8-10rA+6r^2A^2-r^3A^3=0
rA=x
x^3-6x^2+10x-8=0
x=(y+2)
y^3+6y^2+12y+8-6(y^2+4y+4)+10(y+2)-8=0
y^3-2y-4=0
y=2, 8-4-4=0
(y-2)(y^2+2y+2)=0
y=(-2±√4-8)/2=-1±j
だから、x=4, 1±j の時、極大、極小をとるんですね。
極大 rA=4 r=4/A A=(Z/a)
K=(1/2*2^0.5)*(A^1.5)
D=r^2*R^2=K^2{4r^2-2r^3A+r^4A^2)}exp(-Ar)
=K^2{4(4/A)^2-2(4/A)^3A+(4/A)^4A^2)}exp(-4)
=K^2{(64/A^2)-(128/A^2)+(256/A)^2)}exp(-4)
=K^2{(192/A^2)}exp(-4)
R(r)=K*(2-rA)exp(-Ar/2)=K*(2-4)exp(-4/2)
=K*(-2)exp(-2)
あってるかどうかは要確認のこと。
平均は?ですが,
普通の平均値の算出式√{(1/4π)∫R^2dr}
平面だと(1/2π)みたいなものをを使うのでは。
参考程度まで
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