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よろしければ図を描いてみて、考えていただけると幸いです。

△ABCがあり、
cos(B)=1/2, cos(C)=1/√13, AB=4
と与えられています。∠B,∠Cが一意的に決定するということは、∠Aも一意的に決定し、さらに、 AB=4なので△ABCが一意的に決定します。

ここで、BCの長さを求めたいとします。
いろいろな方法があるかもしれませんが、次のアプローチをしてみました。
cos(B)=1/2 より、sin(B)=√3/2,
cos(C)=1/√13 より、sin(C)=2√3/√13,
正弦定理より、AC/sin(B) = AB/sin(C)
これから、AC=√13

BC=xとおいて、余弦定理を使い、
cos(B) = 1/2 = (x^2+16-13)/8x
この2次方程式を解いて、x=1,3

このように2つの解が出ましたが、x=1は不適のようです。
どうしてでしょうか?

上記のやり方を元に、同値変形で、自動的にx=1が除かれるようにしたいのですが、どうすればよいのでしょうか?

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A 回答 (8件)

今晩は。


大分前に考えたことがありますので回答します。

△ABCにおいて、AB=c ,AC=b,BC=x とします。
このとき、
「 ∠B<∠C ⇔ b<c ・・・(#) 」 は
初等幾何でよく知られたことです。証明法の一つの「転換法」にて確か証明すると思います。

さて、
三角形ABCは構成できているので xはただ1通りに決まるはずです。
 このようなときに、xを求めるのに「余弦定理」を使うには、∠B,∠Cの角度の内、
 大きい方で余弦定理を使えば、
「正の解と負の解」が必ず1つずつ出てきますので、x=「正の解」ととればよいのです。

それを以下に説明します。

(あ) ∠B<∠C ・・・(*)であるとする。
 大きい角Cに対して「余弦定理」を用いると
 c^2=x^2+b^2-2bx(cosC) ・・・(1)
⇔ x^2-2bx(cosC)+(b^2-c^2)=0 ・・・(2)

ここで上の(#)から  b<c なので b^2-c^2<0 ・・・(3)
 よって xの方程式 (2)は「正の解と負の解」を持ちます。

◎それで 質問者のの問題に、使用すると
 AB=c=4 ,AC=b=√(13)
cosB=1/2 ,cosC=1/√(13) なので ∠B<∠C よって∠Cに余弦定理を使えば、
 4^2=x^2+{√(13)}^2-2x√(13)×(1/√13)
⇔ x^2-2x+(13-16)=0 ⇔x^2-2x-3=0
⇔ (x-3)(x+1)=0
⇔ x=3 ,x=-1 
x>0なのでx=BC=3と求まる。

(い)なお、普通「余弦定理」といっているのは詳しくは「第2余弦定理」のことで、
 
「第一余弦定理」の 「a=b(cosC)+c(cosB)」などがあります。

b=√(13)まで求めたので、これを使えば、

  x=a=√(13)×(1/√(13)+4×(1/2)=1+2=3と直ちに求まります。

◎なお、「第一余弦定理」「a=b(cosC)+c(cosB)」は頂点Aから辺BCに
垂線を引いて図を考えれば、

∠B<∠Cが鋭角だけでなく、片方が鈍角でも成立することが分かります。

あるいは、「第2余弦定理」の cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ca 、及び
 cosC=(a^2+b^2-c^2)/2abを b(cosC)+c(cosB)に代入して、
 それがaになることを示す方法もあります。

回答になったか分かりませんが、
以上です。
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 #3です。

お礼をありがとうございます。

>このことは、わかるといえば分かるのですが、もっといい方法がないかなあと、モヤモヤしています。

 このコメントが出ると言うことは多分まだお分かりになっていないのだと思います。
 「同値変形で、自動的にx=1が除かれるようにしたい」と言われているのに、必要条件を適当に選らんで、それでたまたま必要十分条件と一致するようなもの(x>0は自明のこととして、適当に選んだ必要条件に追加されていることを考慮されていないようですが)を探しているように見受けられます。これでは<同値変形>とは言えないように思いますが、どのように考えておられますか?

 ひょっとすると「上記のやり方を元に、同値変形で、自動的にx=1が除かれるようにしたい」ということは、1つの余弦定理の式だけを使って一意に解を得たいということを言っているのでしょうか。
 だとしたら、ANo.5のお礼欄に質問者さん自身が書かれていることですが、三角形の合同条件に合う(2辺とそれに挟まれた角が既知となる)ように余弦定理を利用しなければなりません。(それでもx>0という付加条件は必要になりますが。)
 その場合は、お分かりだと思いますが、BC^2=CA^2+AB^2-2CA・ABcos(A) を用いなければなりません。もしこれを用いるなら加法定理などでcos(A)を求めておく必要があります。
 ただ、この方法は余計な計算の手間がかかってしまいます。できるだけ労力をかけずに解くならば、最初に質問者さんが解かれた方法で最後に解の妥当性を検証する方が良いように思います。

 あと蛇足ながら、余弦定理にとらわれず1つの式で解を一意に解く方法を探しておられるなら、正弦定理を使う方法があります。
 あらかじめ加法定理などでsin(A)を求めておけば、BCは一意に決まります。
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>> 同値変形で、自動的にx=1が除かれるようにしたいのですが


ANo.3 の解説にもありましたが、余弦定理から、同値性がぐずれます。

x = 1 の不適の部分ですが、
BC = 1 (x = 1)として、cos C を余弦定理から求めると、cos C = - √13になります。
これは、最初の問題文の cos C = √13 と矛盾します。
(鈍角三角形)

さらに BC = 3 (x = 3) すると、 cos C = √13 となります。
(鋭角三角形)

>> 自動的にx=1が除かれるようにしたいのですが
高校数学において、場合分けは必ず付いてきます。
場合分けを省いた解法を見つけるより、
x = 1 の場合の矛盾を見つける考え方を学ぶほうが重要だと思います。
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あっ、本当だ、ごめん。

なに考えてたんだろう。説明不足。

三角形は、鋭角三角形から、x^2+13>16 つまり、x>√3を追加。
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この回答へのお礼

三角形は、鋭角三角形ということも自明ではなくて、特に∠Aが鋭角であることをいうにはいろいろ計算が必要と思います。

でも、みなさんのおかげで、気づいたことがあります。

質問文:
>BC=xとおいて、余弦定理を使い、
>cos(B) = 1/2 = (x^2+16-13)/8x
>この2次方程式を解いて、x=1,3

これは、△ABCでAB=4,AC=√13,cos(B) = 1/2を用いていることになります。
それは、2辺とその間でない角度です。
よく知られているように、それは幾何学での合同条件でなく、その値が与えられた三角形は、2つ決定する場合があります。1つに決定する場合もあります。
2つ決定する場合というのは、上記において、∠Cが鋭角か鈍角かで、しかもその角の和は180度(互いに補角)になっていることが、幾何学的直感で分かります。

今回の場合、∠Cは鋭角であるから、x=1,3と解が2つ出たら、その大きいほうのx=3を選び、小さいほうのx=1は捨てるべきだと判断できます。

お礼日時:2008/09/29 00:58

>x=1,3はどちらも、|4-√13|<x<4+√13を満たすのですが。



うそだろう。x=1は駄目だろう。。。。笑
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この回答へのお礼

なんど考えても、x=1,3はどちらも、|4-√13|<x<4+√13を満たすと思うのですが。

お礼日時:2008/09/29 00:09

>このように2つの解が出ましたが、x=1は不適のようです。


>どうしてでしょうか?

 それは、余弦定理の1つだけを用いたことで同値性が崩れてしまっているからです。
 質問者さんの余弦定理の式では、∠Aと∠Cが確定しておらず、この式1つだけでは∠Aと∠Cの組み合わせが2通り生まれてしまうため、xも2つ導かれてしまうのです。

 この点を防ぐには、少なくとも2つの余弦定理の式を使わなければなりません。(3つの目の角は3角の和が一定値πになることから不要です。) 或いは、正弦定理など他の条件を加えても良いかもしれません。

 いずれにしても1つの余弦定理の式だけでは必要条件だけしか求められないので、後で十分性を考慮することが基本です。
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この回答へのお礼

> 質問者さんの余弦定理の式では、∠Aと∠Cが確定しておらず、この式1つだけでは∠Aと∠Cの組み合わせが2通り生まれてしまうため、xも2つ導かれてしまうのです。

このことはよく理解できました。

> この点を防ぐには、少なくとも2つの余弦定理の式を使わなければなりません。

このことは、わかるといえば分かるのですが、もっといい方法がないかなあと、モヤモヤしています。
質問文で、cos(B) の代わりにcos(C)を用いて余弦定理を使い、
cos(C) = 1/√13 = (x^2+13-16)/2x√13
この2次方程式を解いて、x=-1,3

この場合は、負だからx=-1が取り除かれますが、それとの違いなどがよくわからないのです。

お礼日時:2008/09/29 00:06

A=π-(B+C) → sin(A)=sin(π-(B+C))=sin(B+C)


加法定理と与えられた条件から、sin(A)=sin(B+C)=sin(B)cos(C)+cos(B)sin(C)=3√3/(2√13)
よって正弦定理から、BC/sin(A)=AB/sin(C) → BC=3 と、無縁根は生じないですね。
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この回答へのお礼

さらに別の方法として、第一余弦定理を用いて、
BC=ABcos(B)+ACcos(C)
=4(1/2)+√13(1/√13)=3
としても無縁根は生じないです。

今回の質問は、質問文での第二余弦定理のアプローチでの無縁根の扱いについて疑問です。

お礼日時:2008/09/28 23:56

基本的な事なんだが、3辺の長さをa、b、cとすると、|b-c|<a<b+cが三角形の成立条件。

それを忘れている。
それをこの問題に当てはめると、|4-√13|<x<4+√13。
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この回答へのお礼

でも、x=1,3はどちらも、
|4-√13|<x<4+√13
を満たすのですが。

お礼日時:2008/09/28 23:51

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2つだけでなく、まれに3つ、4つと前置詞がつながる場合がありますが、どういう場合に起こりえるのでしょうか。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

こんにちは。2/27のご質問ではお返事を有難うございました。

ご質問:
<どういう場合に起こりえるのでしょうか。>

以下のような場合です。

1.形容詞的用法の不定詞句内で、動詞句の一部と副詞句の並立:
例:
I have something to look for in the school.
(直訳)「学校に、探すべきものが、ある」
→(意訳)「学校に探し物がある」

(1)このto不定詞は名詞somethingにかかる形容詞的用法です。

(2)look forは「~を探す」という動詞句で、forの後には本来something「物」が続きます。
例:look for something

(3)名詞somethingが前置しているために、動詞句look forが不定詞の後にそのまま後置されます。

(4)一方in the school「学校で」は、場所を表す前置詞句で、副詞句となって動詞haveを修飾しています。文脈によっては動詞look forを修飾している副詞句と考えることもできます。
例:
「学校に、探し物がある」
では、「学校に」はhave「ある」にかかっています。

「学校で探す物、がある」
では、「学校で」はlook for「探す」にかかっています。

(5)以上から、不定詞の後に後置されたlook forと、haveを修飾する副詞句in the schoolが「たまたま」並立した形になったのです。


2.形容詞的用法の不定詞句内で、副詞句の一部と別の副詞句の並立:
例:
I have something to write with in my pocket.
(直訳)「ポケットに、(それで)書くためのもの(ペンなど)がある」
→(意訳)「ポケットに書くものがある」

(1)このto不定詞は名詞somethingにかかる形容詞的用法です。

(2)write withは「~で書く」という意味ですが動詞句の熟語ではなく、with+道具で手段を表す副詞句になります。

このwithは道具を表す名詞を伴い、「~で」というここでは書く手段を表す意味になります。
例:
write with a pen「ペンで書く」

ここでは、withの後には本来something「物」が続き、このsomethingは書くための道具となる「物」を指しています。
例:
write with something「何かで書く」

(3)名詞somethingだけが前置したために、with somethingという副詞句の一部であるwithが、動詞writeの後にそのまま残った形です。

(4)一方in my pocket「ポケットに」は、場所を表す前置詞句で、副詞句となって動詞haveを修飾しています。

(5)つまり、副詞句の一部となる名詞だけが不定詞の前に前置されたために、副詞句の一部である前置詞withが残り、それがhaveを修飾する副詞句in my pocketのinと「たまたま」並立した形になったのです。


3.受け身などで見られる、動詞句の一部と動作の主体を表す前置詞の並立:
例:
I was laughed at by my friends.
(直訳)「私は、友達に、笑われた」

(1)これは次の文の受動態です。
My friends laughed at me.
「友達が私(のこと)を笑った」

(2)このatは動詞句laugh at「~を笑う」の一部で、本来は笑う対象となる人・物が来ます。能動態の文では笑う対象はme「私」になっています。

(3)このmeを主語にして受動態の文を作ったのが例文です。この時、meだけが主語として主格になったので、動詞句be laughed atでは対象を表す前置詞atはそのまま残ります。

(4)一方受動態では、動作の主体となる名詞にbyをつけて「~によって・・・される」と表します。by my friends「友達によって」は動作の主体を表す前置詞句で、副詞句となって動詞was laughed atを修飾しています。

(5)つまり、受動態では目的語だけが主語になり、動詞句の一部が残ったために、それが動作の主体を表す副詞句by my friendsのbyと「たまたま」並立した形になったのです。

4.以上が、前置詞の並立するパターンとして代表的なものです。ご質問文は、上記の1のパターンで以下のように説明されます。

(1)to obtain sight or knowledge of for the first timeの前にsomethingなどの名詞があったものと推察されます。
例:
I had something to obtain sight or knowledge of for the first time.
(直訳)「はじめて、見つけ、知るべきことが、あった」
→(意訳)「初めてわかり、知ったことがある」

(1)このto不定詞は名詞somethingにかかる形容詞的用法です。

(2)obtain sight or knowledge ofは、等位接続詞orを挟んで同じ語の反復を避け、 obtain sight of or obtain knowledge of を省略したものです。

(3)つまり、obtain sight of「~を見つける」、obtain knowledge of「~を知る」という2つの動詞句があり、ofの後には本来something「物」「事柄」が続きます。
例:
obtain sight of something「物を見つける」
obtain knowledge of something「物を知る」

(4)2つの動詞句に共通の名詞somethingが前置しているために、2つの動詞句obtain sight ofとobtain knowledge ofが不定詞の後にそのまま後置されます。Ofは2つの動詞句の共通の前置詞なので、1つだけ置かれた形です。

(5)一方for the first time 「初めて」は、頻度を表す前置詞句で、副詞句となって動詞句obtain sight of とobtain knowledge ofを修飾しています。

(6)以上から、不定詞の後に後置されたobtain sight or knowledge ofと、動詞を修飾する副詞句for the first timeが「たまたま」並立した形になったのです。


5.ちなみに、前置詞が3つ、4つと続くパターンは、動詞句が2つ以上の前置詞で構成される場合が、上記のようなパターンと結びつく場合にあり得ます。
例:
come up with「~に追いつく」

以上ご参考までに。

こんにちは。2/27のご質問ではお返事を有難うございました。

ご質問:
<どういう場合に起こりえるのでしょうか。>

以下のような場合です。

1.形容詞的用法の不定詞句内で、動詞句の一部と副詞句の並立:
例:
I have something to look for in the school.
(直訳)「学校に、探すべきものが、ある」
→(意訳)「学校に探し物がある」

(1)このto不定詞は名詞somethingにかかる形容詞的用法です。

(2)look forは「~を探す」という動詞句で、forの後には本来something「物」が続き...続きを読む

Qベクトルの重心

三角形ABCの重心をGとすると、
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と書いてあるのですが、なんだかしっくりきません。
どうしてこの式が成り立つのですか?

Aベストアンサー

BCの中点をMとすると
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また
AG↑=2AM↑/3より(Gは重心なのでAMを2:1に内分しているので)
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BC↑=BA↑+AC↑より
AG↑=2AB↑/3+(BA↑+AC↑)/3
=2AB↑/3-AB↑/3+AC↑/3
=AB↑/3+AC↑/3


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