![](http://oshiete.xgoo.jp/images/v2/pc/qa/question_title.png?e8efa67)
cos(x)+cos(2x)+cos(3x)+・・・+cos(nx)=(sin((n+(1/2))x)-sin(x/2))/(2sin(x/2))
となるらしいのですが、これの証明がどうしてもできません。
数学的帰納法や漸化式を考慮して、とりあえずn=1,2,3,・・・で様子を
見てみようとしたのですが、
cos(4x)、4倍角辺りからゴチャゴチャしてきました。
規則も特に見つかりません。
cosをsinに直さなければならなく、その変え方なども複数あり、うまく
整理できません。
どなたか助力のほど、ヨロシクお願いしますm(_ _)m
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
右辺見ると全体を2sin(x/2)で割ってるので、とりあえず左辺にsin(x/2)/sin(x/2)をかけてみます。
sin(x/2){cos(x)+cos(2x)+cos(3x)+・・・+cos(nx)}/sin(x/2)
この式の分子は、
cos(x)sin(x/2)+cos(2x)sin(x/2)+…+cos(nx)sin(x/2)
なのでこれをさらに加法定理の応用(名前忘れた)で展開して行くと、展開された項がどんどん消えて与式の右辺が得られると思います。
ちなみに加法定理は、
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
なので、使うのは、
cosαsinβ = {sin(α+β)- sin(α-β)} / 2
No.1
- 回答日時:
実感したと思いますが、「倍角の公式」って面倒でしょう?
http://www10.plala.or.jp/rascalhp/math.htm#5
実際、cos(nθ)をcosθについて解いた式というのをチェビシェフ多項式というのですが、これは↓でも解説されているとおり非常にやっかいな式になりますから、こちらで計算したらそれはもう大変なことになるわけです。
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/inequalit …
ですので、この手の計算では次のオイラーの公式を使いましょう。
exp(iθ)=cosθ+isinθ ∴cosθ={exp(iθ)+exp(-iθ)}/2
これを使うと、ド・モアブルの定理によりcos(nθ)={exp(inθ)+exp(-inθ)}/2ですから、あとは単なる等比級数の計算です。
※計算して様子を見るのは、「ダメっぽい」のを確認するためでもあります。
オイラーの公式とド・モアブルの定理を使って、単なる等比級数の計算になったのですが、整理するとまたcosになってしまい、sinの形にできませんでした。
計算ミスかなと思いもう1度やってみたのですが、ダメでした(><)
でも、他の方法でなんとか解けました!
アイディアありがとうございましたm(_ _)m
解き方って、色々あるんですね(^^;)
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 次の関数を微分せよ y=sin^4 x cos^4 x という問題で自分は積の微分法で微分して y' 3 2023/05/17 20:38
- 数学 数学 三角比 sin80°もsin110°もどちらもcos10°ですか? sin(90°+θ)=co 5 2023/05/07 01:44
- 数学 座標変換について 1 2022/08/04 16:42
- 数学 回答者どもがなかなか答えられないようなので、考えてみました。 ∫[0,π/2]log(sinx)/( 4 2022/08/31 16:30
- 数学 線形代数の行列についての問題がわからないです。 1 2022/07/18 17:46
- 数学 「n≦-2の時 z≠π/2の時 g(z)=tan(z)(z-π/2)^(-n-1) z=π/2の時 22 2022/07/04 22:24
- 数学 高校生です。 この問題が解説がないため合ってるか分かりません。 この回答であってますか? 回答 g( 3 2023/01/24 14:05
- 数学 0<x<π/2で 4x-6sin(x)+sin(2x)+4cos(x)-cos(2x)<3 が成り立 1 2022/06/17 21:26
- 数学 写真の赤線部にについてですが、 どのように展開すれば「cos²5x-cos²3x」から 「sin²3 3 2023/02/13 13:38
- 数学 tan(z)=h(z)/(z-π/2)から h(z)=-(z-π/2)cos(z-π/2)/sin( 2 2022/08/01 23:44
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
e^iθの大きさ
-
tanθ=2分の1のときの sinθとcos...
-
二つの円の重なっている部分の面積
-
二次の偏導関数について
-
楕円を角度θで回転した時のX,Y...
-
高1 数学 sin cos tan の場所っ...
-
3辺の比率が3:4:5である直...
-
複素数表示をフェーザ表示で表...
-
二つの囲まれた楕円の共通の面...
-
∫sin^2x/cos^3xdxの解き方が...
-
この問題の半径rと中心核αの扇...
-
アークサインの微分
-
cos(x)+cos(2x)+cos(3x)+・・・
-
三角関数の証明(有理数である...
-
次の三角比を45°以下の角の三角...
-
急いでます! θが鈍角で、sinθ...
-
0°<θ<180°とする。4cosθ+2sinθ=...
-
sin(nx) が sin x の多項式であ...
-
sinZ=i (iは虚数単位)の時のzの...
-
関数
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
e^iθの大きさ
-
高1 数学 sin cos tan の場所っ...
-
3辺の比率が3:4:5である直...
-
sin2xの微分について
-
アークサインの微分
-
画像のように、マイナスをsinの...
-
教えてください!!
-
加法定理の応用問題でcosα=√1-s...
-
この問題の半径rと中心核αの扇...
-
式の導出過程を
-
tanθ=2分の1のときの sinθとcos...
-
∫sin^2x/cos^3xdxの解き方が...
-
cos18°の求め方
-
sin(ωt+θ) のラプラス変換
-
数学の問題で。。。0<θ<90 Sin...
-
数学 2次曲線(楕円)の傾きの計...
-
三角関数の加法定理について
-
力学・くさび
-
複素数表示をフェーザ表示で表...
-
二つの円の重なっている部分の面積
おすすめ情報