複素数の平方根、立方根

よろしくお願いします。
複素数　ａ＋ｂｉ（ａ，ｂ共に＜＞０）の
（ａ＋ｂｉ）＾（１／２），（ａ＋ｂｉ）＾（１／３）はどのように計算しますでしょうか。４次方程式の解（複素数解を含む）を求める過程で出現して悩んでいます。（立方根はついでに聞きたいので加えました。）
よろしくお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： nious 回答日時： 2008/10/06 21:52

とりあえず1つだけです。

(x+yi)^2=a+biとおいてx+yiを求めます(ab≠0)。すると、
x^2-y^2=a、2xy=b より 4x^4-4ax^2-b^2=0
x=±√{(a+√(a^2+b^2))/2}、y=±(b/|b|)√{(-a+√(a^2+b^2))/2} (複号同順)

この回答へのお礼

あーー、感謝します。これで十分です。

お礼日時：2008/10/06 22:06

No.3 回答者： ojisan7 回答日時： 2008/10/06 21:09

三角関数などを使わずに、代数的に求めるということでしょうか。

x=(a+bi)^(1/2)とおきます。
x^2=a+bi
(x^2-a)^2=-b^2
この４次方程式の根を「フェラリの公式」で求めます。
「フェラリの公式」については、サイト等で検索して下さい。

立方根についても同様です。ただし、立方根については、
「カルダノの公式」を使いましょう。

がんばってくださいね(^^)

この回答へのお礼

ありがとうございます。あと一息というところでいつもつまづきます。
どうも質問の仕方が間違っていた気がします。三角関数でも指数関数でもよいのですが、どうしても虚数の処理方法を理解しないと実数解にたどり着けないのですよね。ここが不思議で仕方ないのです。ここを越えるためにはやはりｅｘｐなり三角関数の利用が欠かせないと思っています。５0才代を越えると（実業系高卒です）、数学にはまると、本当にドツボにはまってしまいます。

お礼日時：2008/10/06 22:00

No.2 回答者： arrysthmia 回答日時： 2008/10/06 20:43

まづ、複素数を極形式に変形しましょう。

a + b i = r (cosθ + i sinθ) となる
実数 r, θ を求めます。これを使って、
(a + b i)^(1/2) = { r^(1/2) }{ cos(θ/2) + i sin(θ/2) }
(a + b i)^(1/3) = { r^(1/3) }{ cos(θ/3) + i sin(θ/3) }
です。
与えられた a, b に対して、θ が周期 2π で複数あることから、
θ/2 は周期 π で、θ/3 は周期 (2/3)π で、複数存在し、
(a + b i)^(1/2) や (a + b i)^(1/3) も、ひとつの値には決まりません。

この回答へのお礼

あいがとうございました。No1さんと同じくポイントの配分に悩みます。

お礼日時：2008/10/06 21:40

No.1 回答者： info22 回答日時： 2008/10/06 20:34

>（ａ＋ｂｉ）＾（１／２）

a+bi={√(a^2+b^2)}exp(iθ+2nπi),n=0,1
sinθ=b/√(a^2+b^2),cosθ=a/√(a^2+b^2)
から
(a+bi)^(1/2)=(a^2+b^2)^(1/4)exp(iθ/2),
(a^2+b^2)^(1/4)exp{i(θ/2+π)}

> （ａ＋ｂｉ）＾（１／３）
a+bi={√(a^2+b^2)}exp(iθ+2nπi),n=0,1,2
sinθ=b/√(a^2+b^2),cosθ=a/√(a^2+b^2)
から
(a+bi)^(1/3)=(a^2+b^2)^(1/6)exp(iθ/3),
(a^2+b^2)^(1/6)exp{i(θ+2π)/3}
(a^2+b^2)^(1/6)exp{i(θ+4π)/3}

この回答へのお礼

ありがとうございました。eに関する式があるとは・・・。
ポイントの配分に悩みます。

お礼日時：2008/10/06 21:38