ポワソンの式のγの値ってなに！？

大学の物理化学で困っているところがあります。

断熱可逆変化で出てくるポワソンの式、TP^((1-γ)/γ)のγの値についてです。

単原子分子理想気体なら５/３になるらしいのですが、これは本当でしょうか？
問題集の解答にはγ＝1.67としか書いてないのでサッパリです…

どうか詳しい方、おねがいいたします。。

No.3 ベストアンサー 回答者： orcus0930 回答日時： 2008/10/13 00:33

大学なので微積分を用いましょう。

まず熱力学第一法則
dQ = dU +pdV
可逆断熱変化なのでdQ=0
dU=-pdV
ここで、理想気体では、U=nCvT (Cvは定積モル比熱)
d(nCvT)=-pdV
理想気体の状態方程式pV=nRTよりp=nRT/V

nCvdT=-nRT/V*dV
dT/T = -R/Cv * dV/V
積分して
log(T) = -R/Cv log(V) + const
log(T*V^(R/Cv)) = const
TV^(R/Cv) = const

ここで定積モル比熱Cvと定圧モル比熱Cpとの間には
Cp - Cv = R (定圧変化で第一法則と状態法則を用いれば導けます。マイヤーの式といいます)
の関係があるので、
TV^((Cp - Cv)/Cv) = const
TV^(Cp/Cv - 1) =const

ここでCp/Cv=γとおくんですね。
TV^(γ-1)=const　…(1)

両辺にPV/T=constをかけて
PV^γ=const
が得られます
両辺を(γ-1)/γ乗します
P^((γ-1)/γ)*V^(γ-1) =const　…(2)
が得られます。
(1)÷(2)をします。
TP^((1-γ)/γ)=const
が得られましたね。

ここまでを理解した上で話をγに移しましょう。
γ = Cp/Cv = (Cv + R)/Cv
と書けることは示したので、Cvの値を考えましょう。
Cvについては以下のことが知られています。
単原子分子ならCv=3/2 R
2原子分子ならCv=5/2 R
単原子分子の場合の証明は気体の分子運動論から証明可能です。
一般に気体分子の自由度が1増えるとCvは1/2 R増えます。
ちなみに単原子分子の自由度は3
2原子分子は5です。

以上を踏まえてγを求めると
単原子分子の場合は
γ = Cp/Cv = (5/2 R)/(3/2 R) = 5/3 = 1.666… = 1.67となるわけですね

No.2 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2008/10/13 00:26

　γは定積モル熱容量Cvと定圧モル熱容量Cpの比で、CvとCpには次の関係があります。

　　Cp－Cv＝R

　単原子分子では、並進運動の自由度が３なので、Cv＝3/2 Rとなります。
　そのため、γは５／３で正しいです。

　　γ＝Cp/Cv＝(3/2 R +R)/(3/2 R)＝5/3

　ちなみに、定積モル熱容量Cvは（並進と回転の）１自由度当たり1/2 Rなので、直線的な分子ではCv＝3/2 R +R、それ以外ではCv＝3/2 R+3/2 R となります。

http://www.asahi-net.or.jp/~ir5o-kjmt/jyugyou2/b …

No.1 回答者： okormazd 回答日時： 2008/10/13 00:19

ちょっと調べればわかると思うがな。

γ=Cp/Cv
http://csx.jp/~imakov/thermo/node12.html

単原子分子理想気体なら、
Cp=5/2RT
Cv=3/2RT
だろ。
http://blog.livedoor.jp/cfv21/phys/kinthofgas.htm