大学数学の全微分可能性に関する質問です、どなたかよろしくお願いします

大学の全微分に関する問題で
次の関数は原点で全微分可能でないことを示せという問題なのですが。

f(x)=　x^2y/(x^4+y^2) (x,y)=(0,0)以外のとき
　　
　0　 (x,y)=(0,0)のとき

原点における偏微分可能性と連続性を考えたところ、
関数の連続性に関しては y=x^2 と　y=x　にそった極限の値の違いから連続でないことはわかったのですが、
偏微分可能性についてがどうしてもよくわかりません。普通に偏微分したら原点ではできないとは思うのですが、
そもそも連続じゃないのに偏微分可能なんてことがあるのだろうかなどと考えはじめたら混乱してしまいました。。。
この方法で示せるのかも含めてどなたか回答をよろしくお願いします。＜(_ _)＞

No.1 ベストアンサー 回答者： Ae610 回答日時： 2008/10/20 21:52

∂f/∂x=lim[h→0]{f(h,0)-f(0,0)}/h=0/h^5=0

∂f/∂y=lim[h→0]{f(0,k)-f(0,0)}/k=0/k^3=0
よって偏微係数∂f/∂x , ∂f/∂yは存在する。
一方、f(x,y)=x^2y/(x^4+y^2)において、y=mx^2とすると
f(x,y)=mx^4/(x^4+m^2・x^4)=m/(1+m^2)となってmの値で変動する。
よってf(x,y)は不連続。

従って、f(x,y)=x^2y/(x^4+y^2) は全微分可能ではない。

この回答へのお礼

なるほど、極限の偏微分の仕方を勘違いしていました。助かりました～＾＾

お礼日時：2008/10/23 17:02

No.3 回答者： arrysthmia 回答日時： 2008/10/21 23:26

「微分可能なら、連続」というスローガンは、多変数関数においては、

(1) 全微分可能なら、多変数関数として連続
(2) 偏微分可能なら、その変数に関して、一変数関数として連続
という二つの側面を持つ。これらは、どちらも正しい。

多変数関数として連続であれば、各変数に関して、一変数関数として連続
であるが、その逆は言えないから、
全微分不可能な関数の中には、各変数に関して偏微分可能だが、
多変数関数としては連続ですらないモノがあってよい。

世の中に、「偏連続」という言葉があればよいのに…

この回答へのお礼

なるほど、何度か読み直して教科書引っ掻き回して意味がわかりました。感謝です＾＾

お礼日時：2008/10/23 17:06

No.2 回答者： jamf0421 回答日時： 2008/10/21 18:05

蛇足かも知れませんがNo1さんの御回答に補足します。

全微分可能とは（x0,y0)の近傍でα、βをうまくとって
f(x,y)=f(x0,y0)+α(x-x0)+β(y-y0)+ε(x,y;x0y0)
ε/{(x-x0)^2+(y-y0)^2}^(1/2)→0((x,y)→(x0,y0)）
と表されることです。(x,y)→(x0,y0)の時にf(x,y)→f(x0,y0)になりますから、全微分可能ならば連続です。逆に連続でないなら全微分可能ではありません。
(x0,y0)で偏微分できるとは、一方を固定して他方で微分が出来ればよいのです。点（0,0)でx,yのそれぞれの変数について偏微分できるかと見る場合、xについて偏微分するときはf(x,0)、yについて偏微分するにはf(0,y)を微分すればよいのですが、もともとゼロですからそれぞれについては偏微分できます。No1さんの書かれている通りです。
不連続性についてもNo1さんのご説明の通りで、もとの関数の値f(0,0)=0は明らかなのに、y=mx^2のグラフと問題の式のグラフの交わりはx→0でもm/(1+m^2)になっていて不連続です。
要するに偏微分が出来ても連続とは限らない、という例を示した問題と思います。

この回答へのお礼

最近ようやく全微分の意味がわかってきました、ありがとうございます。

お礼日時：2008/10/23 17:03