漸化式における特性方程式

Question

はじめまして。
現在高校三年生で数学を勉強している文系です。
漸化式の分野で、「特性方程式」というものが出てきました。
参考書や検索して出たページ、過去の質問を参照しましたが、
途中までは理解できるものの、最後のところが理解できません。
というのは、

a_(n+1)      =  p(a_n) + q …(1)　という漸化式が与えられた時、
a_(n+1) - α = β(a_n - α)…(2)　
と変形できればこの数列は等比数列としてあらわすことができ、
a_nの一般項も求められる。
(2)を展開して係数比較をしていくと
P=β , -αβ+α=q より αは x=px+q の解であることがわかる。
これを特性方程式と呼ぶ

ここまでは理解できました。(もしおかしいところがあったら指摘してください)
しかしその後の

このαの解を(1)の漸化式の両辺から引くと…

という個所から先が理解できません。
たしかに、(2)の
a_(n+1) - α = β(a_n - α)
という式でαに解を入れれば一般項を求められるのはわかりますが
(1)の式
a_(n+1) = p(a_n) + q
の両辺からαを引くと、
a_(n+1) - α = p(a_n) + q - α
で(2)の式とは異なってしまい、等比数列と見ることはできなく
なってしまいませんか?
もしかしたらすごく単純なところを見逃しているのかもしれませんが、
この質問についての回答、よろしくお願いします。

arrysthmia · Accepted Answer

＞ 「辺々を引けば同じ式になるから」
＞ などと言う理由ではなく、違った根拠、
＞ 「(1)からαを引く意味」、これを教えていただきたかったのです。

「(1)からαを引く意味」は、「辺々を引けば同じ式になるから」です。
もともと、「(1)からαを引けば等比数列の式になる」ようなαを求める
方程式を「特性方程式」と呼んだのです。αは、その解ですから。

Kules · Answer

おお～割と久々に聞いたかも特性方程式。
一般的な話としてはみなさんが書かれたとおりだと思います。
つまり、そう変形すれば等比数列の形になって解けるからそう変形する、という話です。
ここでは私の中にある勝手な解釈を書かせていただきます。まだ数IIICをやってないとのことですので何のことかわからないかも知れませんが、まあ一つの小話として聞いてください。

私もこの特性方程式には少し悩んだ人です。というのは解き方はわかるのですが「なぜその両辺から引くものを求めるのにa_n+1=a_n=αとおけば出るのか」わからない。そもそもa_n+1=a_nになんかなるわけないじゃん、等比数列なんだし…と思っていたわけです。
その疑問は数IIIの極限をやった時に(なんとなく、自分としては)納得できました。数IIIではlimの計算の一つとして、n→∞という計算をします。これは、例えば数列で言えば、a_10000、a_100000000000みたいにどんどんその数列のｎを大きくすると、それはどのようになるか、ということです。この時、a_nがある一定の値にどんどん近づいていった時、その数列は「収束する」といいます。
ここでハッとしたわけです。つまり、「収束する数列ならば、nを思いっきり大きくすればa_n+1=a_nになるんでないか。その値がαなんではないか」と。(この辺議論としてはかなり怪しいですが、まあ感覚的な話です。)

これは成り立つ時と成り立たない時があります。その数列が収束しない時、当然ながら成り立ちません。ただし、その数列が等比数列で、収束する時(どういう時に収束すると思いますか？といってももったいぶるほどのことでもないんですが)その収束していく値はαとなります。

このことを知っていると数IIIの計算でちょっと楽ができます(そもそも数IIIで穴埋め式の問題とかあまりないんで意味がないっちゃあないんですが)。次の問題は私がまだ高校３年生だったころ、同級生に出され、(上の事実を知っていたので利用して)暗算で、しかも10秒ぐらいで答えたせいで周りから奇異の目で見られるきっかけとなった問題の改題です。

「a_1=1,2a_n+1=a_n+3の時、lim(n→∞)a_n(ｎをものすごく大きくした時のa_nのことです)を求めよ」

上の事実を知っていれば答えが３であることはすぐわかると思います(こんなんに10秒かかったとかいう突っ込みはなしでお願いします。実際はもうちょっと複雑な式だったので…)

長文失礼しました。参考になれば幸いです。

info22 · Answer

#2,#3です。

公式や定石は、先人たちの知恵やこうしたら確実に間違いなく答に辿り着けるという知識をまとめたものです。
理屈ではなく、こうすれば上手く行きますよ。簡単に答に辿り着けますよ。
というのが、定石であり、公式でもあります。その定石や公式を正しく把握していないと、テストで失敗します。実データで確認して公式を理解したいですね。

>>a_0=1
>についてですが、数列の第0項という概念が自分には理解できかねます。
>もしかしたら数学IIICなどの分野でみることがあるのかもしれませんが…。

杓子定規に覚えるのでなく、柔軟な頭脳でもって物事をとらえる事が大切ですね。
数列の初項の添え字は、沢山の経験を積み、沢山の問題を解けば、
a_0から初めても、a_1から初めてもいいと思います。
そういう例は、高校や大学に進んでいけば、どちらのケースも経験するでしょう。a_0と書いたからといって初項（最初の項）には違いありません。
大学入試でa_0からはじめたとしてもバツにされる事はありません。大学人はちゃんと柔軟性の頭を持った先生方が沢山います。

> 本質的な部分で
>「なぜ(1)からαを引けば等比数列の式になるのか」
> がわからないままです。
>「辺々を引けば同じ式になるから」
>などと言う理由ではなく、違った根拠、
>「(1)からαを引く意味」、これを教えていただきたかったのです。

これは等比級数の式が適用できるような式の形に（無理やり）変形
するために行う操作であって、それ以上の理由はありません。
「αを引いて左辺と右辺を変形して同じになる」の意味は、ただ、等比級数の式に当てはめる為の式の変形以外、何も目的はありませんので、意味を考えてもそれ自体意味がないです。（そうしないと等比級数の公式が使えず、a_nが求まらないのです。）式を変形して同じになるわけで納得するしかないでしょう。（僕も受験生の頃、受験テクニックの１つとして覚えました。）

R_Earl · Answer

> a_(n+1) = p(a_n) + q
> の両辺からαを引くと、
> a_(n+1) - α = p(a_n) + q - α
> で(2)の式とは異なってしまい、等比数列と見ることはできなく
> なってしまいませんか?

『αは x = px + qの解である』ということは、
この方程式のxにαを代入しても等式が成り立つということです。
つまりα = pα + qが成り立ちます。

「a_(n+1) - α = p(a_n) + q - α」の右辺のαに、α = pα + qを代入すると

a_(n+1) - α = p(a_n) + q - α
a_(n+1) - α = p(a_n) + q - (pα + q)　（ここでα = pα + qを代入）
a_(n+1) - α = p(a_n) - pα
a_(n+1) - α = p(a_n - α)

となって、(2)の形になります。

info22 · Answer

#2
です。

ちゃんと回答者の回答を読んで理解するようにして下さい。
文字を使わない具体例と比較してもらえましたか？

質問者さんの間違った先入観で堂々巡りして見えるだけのようです。

質問者さんの式
>　a_(n+1) - α = p*(a_n) + q - α
α = pα+q より q=α-pαであるから
　　　　　右辺 = p*(a_n) + α-pα -α = p*(a_n) - pα
なので、
> a_(n+1) - α = p*{(a_n) - α} 

となります。
公式は公式に過ぎません。公式を使えば、スマートに解答ができます。
しかし、公式を丸暗記していると、解き方の本質を見失います。
p,qの文字を使わない実例でもって、本質を正しく理解する事で、
公式が身に付くのだと思います。

info22 · Answer

抽象的な文字(p,q,α,β)ばかり使った一般論ばかりいじっていて、
数式の迷子になっていても始まりません。

具体的なp,qの値を使って理解するようにして下さい。

a_(n+1) = 3(a_n) + 2
a_0=1

これを解いてみて下さい。
a_(n+1)+1=3{(a_n) + 1}
=3^2{a_(n-1) + 1}
=…
=3^(n+1){(a_0)+1}
=2*3^(n+1)(n=0,1,2,…)
a_(n+1)+1=2*3^(n+1) - 1 (n=0,1,2,…)

この例をじっくりみて理解した上で、
p,qが何に当たり、
α,βがどの様に求まり、
漸化式にα,βがどの様に使われるか、上の例題に当てはめて
理解して下さい。

何回も計算し、じっくり眺める事で、理解できるようになるかと思います。

proto · Answer

αはx=px+qの解より
　　α = pα+q
が成り立つ。

　　a_(n+1) - α = p(a_n) + q -α
の右辺のαに先ほどの式を代入
　　a_(n+1) - α = p(a_n) + q -(pα+q)
　　a_(n+1) - α = p(a_n) + q -pα -q
　　a_(n+1) - α = p(a_n) -pα
　　a_(n+1) - α = p(a_n-α)
これで等比型。


だがこんな事せずとももっと簡単に求まる。
　　a_(n+1) = p(a_n) + q
　　α = pα +q
より辺々引いて、
　　a_(n+1)-α = p(a_n-α)

漸化式における特性方程式

＞ 「辺々を引けば同じ式になるから」

おお～割と久々に聞いたかも特性方程式。

#2,#3です。

> a_(n+1) = p(a_n) + q

#2

この回答への補足

抽象的な文字(p,q,α,β)ばかり使った一般論ばかりいじっていて、

αはx=px+qの解より

この回答への補足

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