線形代数分野のVandermonde行列式に関しての問題。
Vandermonde行列式
Δ(t,x,y,z):=
│ t^3 x^3 y^3 z^3 │
│ t^2 x^2 y^2 z^2 │
│ t x y z │
│ 1 1 1 1 │
δ(x,y,z):=
│x^2 y^2 z^2 │
│ x y z │
│ 1 1 1 │
このとき、次のように整理できることが知られている。
Δ(t,x,y,z)/ δ(x,y,z)= t^3-e1(x,y,z)t^2 + e2(x,y,z)t-e3(x,y,z)t
ここで、各ei(x,y,z) (i = 1,2,3.)
この問題はどうやって解くんですか。教科書一生懸命見たけど、ぜんぜんわからなくて、教えてください。
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
|x^3 y^3-x^3 z^3-x^3|
|x y-x z-x | =
|1 0 0 |
|y^3-x^3 z^3-x^3|
|y-x z-x | =
(y^3 - x^3)(z - x) - (z^3 - x^3)(y - x) =
(y - x)(z - x){ (y^2 + yx + x^2) - (z^2 + zx + x^2) } =
(y - x)(z - x)(y - z)(y + z + x)
同様に δ = (y - x)(z - x)(y - z) も計算すれば、
e1 = (y + z + x) が分かる。
このように、根性だけでも3次くらいは扱える。
もう少しマシなやり方としては、
行列式の定義より、Δ は、t, x, y, z の多項式となるが、
t = x, y, z のとき、列に重複が生じて Δ = 0 になることから、
その多項式は、(t - x)(t - y)(t - z) で割り切れる。
Δ を第一列で余因子展開すると、t^3 の係数が δ であることが分かるから、
Δ = (t - x)(t - y)(t - z)δ である。
よって、Δ/δ = …
たぶん、これは、多くの教科書に載っている。
No.1
- 回答日時:
ei(x, y, z) としてどのような形が要求されてるかは知らんけど....
「解き方」はほとんど自明では? Δ と δ をがんばって計算して, その比を取ればいい.
ああ, もちろん 3次の行列式や 4次の行列式が計算できることが大前提だけど.
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