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二項定理の問題なので、表記が見にくくなってしまい、すいません;
nとか0とか2は、二乗とかの、全て小さいものとして表記してます;
等式(1+X)n乗 (X+1)n乗 =(1+X)2n乗
を用いて、次の等式を証明せよ。
nC0二乗+nC1二乗+・・・+nCn二乗=2nCn
この問題で、
(1+X)n乗(X+1)n乗
=nC0(nC0・xn乗+nC1・Xn-1乗+・・・+nCn)
+nC1X(nC0・Xn乗+nC1・Xn-1乗+・・・+nCn)
+nCnXn乗(nC0・Xn乗+nC1・Xn-1乗+・・・+nCn)
となるようなのですが、どうしてこんな式になるのかがさっぱりわかりません。
また、
(1+X)n乗(X+1)n乗の展開式においてxn乗の項の係数は
nC0二乗+nC1二乗+・・・+nCn二乗
で、また、
(1+X)2n乗の展開式の一般項は2nCrXr乗
よってXn乗の項の係数は2nCn
両辺のXn乗の項の係数は等しいから、等式は成立する。
なぜ両辺のXn乗の項の係数を調べるのでしょうか?
本当にわかりません。アドバイスお願いします。
A 回答 (2件)
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No.2
- 回答日時:
#1です。
細部は確認してませんが、それで良いと思われます。それで回答はそこまで出てますけど…その後はおわかりですか?
No.1
- 回答日時:
正直、読みにくいのでヒントだけ
n乗だとわかりにくいので、三乗で解説する。
(1+X)^3=(1+X)(1+X)(1+X)
だから、X^0乗になるためには、三つの(1+X)のうち、すべて1を選ぶ必要がある。つまりX^0乗の項の係数は3C0になる(どれもXを選ばないため)
次にX^1乗になるためには、三つの(1+X)のうち、どれか1つだけXを選ぶ必要がある。だから、X^1乗の項の係数は3C1になる。
…
まとめると、(1+X)^3=3C0*X^0+3C1*X^1+3C2*X^2+3C3*X^3となる。
同様にして(1+X)^n=nC0*X^0+nC1*X^1+・・・+nCn*X^n
となる。
逆にすれば(X+1)=nC0*X^n+nC1*X^(n-1)+・・・+nCn*X^0
とりあえずこんな感じで(汚いけど)
あとは、補足に途中まで書いて下さい(そうしないと丸投げと同じなので)
この回答への補足
読みにくくてすいません;た、確かに丸投げ一歩手前ですね;気をつけます;
(1+X)^n=nC0*1^n+nC1*1^n-1*X...+nCn*X^n
(X+1)^n=nC0*X^n+nC1*X^n-1*1...+nCn*1^n
1^n-1は、1にどんな数を○乗しても1は1なので表示せず。
(X+1)^nの展開式に、(1+X)^nの、nC0とnC1XとnCnX^nをそれぞれかけることで、(1+X)^n×(X+1)^nを計算している。
↓この式の意味は、↑こんな感じでしょうか?
(1+X)^n(X+1)^n
=nC0(nC0*X^n+nC1*X^n-1+...+nCn)+nC1X(nC0*X^n+nC1*X^n-1+...+nCn)+nCnX^n(nC0*X^n+nC1*X^n-1+...+nCn)
(1+X)^n(X+1)^nの展開式において、X^nの項の係数は、
(nC0)^2+(nC1)^2...+(nCn)^n
こんな風に考えましたが・・
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