lim[n→∞]∫[0,π/2]{sin^2(nx)}/(1+x)=(1/2)log(π/2 + 1)

lim[n→∞]∫[0,π/2]{sin^2(nx)}/(1+x)=(1/2)log(π/2 + 1)

ということなのですが、区分求積法を使おうとしたのですが、よくわかりません。
複雑ですが、解けた方は教えていただけないでしょうか。

No.2 ベストアンサー 回答者： Ae610 回答日時： 2009/01/02 12:28

ANo.1様が既に回答を出されているようなので、無意味かも知れませんが・・・、

lim(n→∞)∫[0,π/2]{sin^2(nx)}/(1+x)・・・(1)
(1)においてsin^2(nx)=1/2・(1-cos(2nx))と変形出来る。(・はかけ算の意味)
よって
与式=lim(n→∞)∫[0,π/2](1-cos(2nx))/2(1+x)dx
=lim[n→∞]∫[0,π/2]1/2(1+x)dx － lim[n→∞]∫[0,π/2]cos(2nx))/2(1+x)dx
=｛1/2・log(1+x)｝[0,π/2]－lim(n→∞)∫[0,π/2]cos(2nx))/2(1+x)dx

第一項目の積分は=1/2・log(1+π/2)
第二項目の積分において、f(x)=1/(1+x)は(0～π/2)で積分可能である。従って、そのフーリエ係数はn→∞のとき0に収束する。
（リーマン-ルベグの定理を用いた。）よって第二項目の積分は0となる。

よって、lim(n→∞)∫[0,π/2]{sin^2(nx)}/(1+x)=1/2・log(1+π/2)
となる。

No.3 回答者： 33550336 回答日時： 2009/01/03 00:34

質問者は高校生ですか？

区分求積法を使おうとしたあたりからもしかすると…と思ったのですが。

No.2様が回答をされていますが、はさみうちの原理を用いれば一応高校の範囲でも解くことはできます。
No.2様の変形の最後の２項目を置換してから部分積分すればはさみうちで評価することができます。

ちなみに区分求積法は無限級数を計算するときに効果を発揮するのであって、積分計算で級数に戻して…というようなことはあまりしません。

No.1 回答者： gef00675 回答日時： 2009/01/01 02:28

sin^2(x)=(1-cos(2x))/2であることと、

区間上で連続な関数f(x)について、
lim∫[0,2π]cos(nx)f(x)dx=0, (n→∞)
が成り立つことを利用すればよいと思う。
教科書でフーリエ級数の収束について調べれば載ってるはず。