mを自然数，nを奇数とするとき，2(1^n＋2^n＋…＋m^n)がm(m＋1)で割り切れる

mを自然数，nを奇数とするとき，2(1^n＋2^n＋…＋m^n)が m(m＋1)で割り切れることを証明したいのですが、あることに気づく必要があるといわれたのですが、それがどうもよくわかりません。

また、nが偶数のときには、何か別の性質があるのでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： carvelo 回答日時： 2009/01/01 22:09

自然数をmで割った余りで分類する（剰余類）方法が分かっていればさほど難しい問題ではないですね

mが奇数なら自然数nはkを自然数として
n=mk,mk±1,mk±2,…,mk±(m-1)/2
mが偶数なら
n=mk,mk±1,mk±2,…,mk±(m-2)/2,mk+m/2
と表現できることに注意しましょう。


剰余で分類する問題だと、例えば

3で割り切れる数、3で割って1余る数、3で割って2余る数

のように分けることが多い気がしますが、3で割って2余る数を
3k+2=3(k+1)-1 (k=0,1,2,…)
と見れば
3k-1 (k=1,2,3,…)
と表現してもいいな、と分かりますね。
こう見るとnが奇数に限定されている理由も見えてくると思います。

余裕があったら、合同式などについても調べてみるといいかと思います。