二次関数に極値

二次関数の極値を求めよという問題がありまして

答えが極小値かつ最小値だったんですけど


二次関数に極値なんてありましたっけ？

No.4 ベストアンサー 回答者： sanori 回答日時： 2009/02/06 04:04

こんばんは。

二次以上のｎ次関数をグラフにすると、
必ず、滑らかで切れ目のないグラフになりますが、

左から右に向かってやってきて、
右下向き（＼　＝下り）から右上向き（／　＝上り）に向きを変えるポイント（のｙ座標の値）が極小値、

左から右に向かってやってきて、
右上向き（／　＝上り）から右下向き（＼　＝下り）に向きを変えるポイント（のｙ座標の値）が極大値
です。

イメージで言えば、
グラフの曲線に上から水を注いだとき、水がたまるところがあれば、そこが極小値（とその近傍）、
グラフをさかさまににして上から水を注いだときに水がたまるところがあれば、そこが極大値（とその近傍）
です。


そのままのグラフと、上下をひっくり返したグラフとで、
水がたまる場所の数の合計は、
・二次関数ならば、必ず１か所です。
・三次関数ならば、２か所の場合と、０か所の場合があります。
・四次関数ならば、３か所の場合と、１か所の場合があります。
・五次関数ならば、４か所の場合と、２か所の場合と、０か所の場合があります。

上述したとおり、これらは極値の数と同じです。


以上、ご参考になれば幸いです。

No.3 回答者： info22 回答日時： 2009/02/05 23:53

極大値と極小値をあわせた呼称として極値が使われます。

詳しい説明は以下のサイトをご覧下さい。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E5%80%A4

極限や極限値とは混同しないようにして下さい。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90

No.2 回答者： owata-www 回答日時： 2009/02/05 22:32

y=ax^2 + bx +c (とりあえずa>0とします)

を微分すると
y' = 2ax +b
となります。

よって、
x = -b/2aの時、y'=0
lim[x→-b/2a+0]y'>0
lim[x→-b/2a-0]y'<0
になるので
x=-b/2aの時極小値 c - b^2/4aをとります

No.1 回答者： loopkun 回答日時： 2009/02/05 21:57

頂点ともよばれているくぼみのところのことですね。