定積分 ∫[0,π/2]sinθcos^2θdθ

定積分　∫[0,π/2]sinθcos^2θdθ

の解き方がわかりません。
教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2009/03/10 23:41

　これは合成関数の積分ですので、次のように行ってください。

１）　ｔ＝cosθ　とおいて変数変換してください。
　dt＝-sinθdθ　なので、　-dt＝sinθdθ　
　　　θ＝０のとき　ｔ＝１
　　　θ＝π/2のときｔ＝０
　となりますので、与えられた定積分は次のように書き換えできます。

　　∫[1,0] t^2 (-dt)
　＝∫[0,1] t^2 dt

２）　あとは普通に定積分を行ってください。


　なお、他に、cosθを消去してsinθだけで表し、(sinθ)^3を３倍角の公式で　sin(3θ)をつかって表し積分する方法もありますが、この場合は、手順が煩雑で面倒になります。

No.2 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/03/10 23:46

やり方は、いくらでも…

x = cos θ と置いて、置換積分する。

cos^2 θ = 1 - sin^2 θ と
sin の三倍角公式を使って、sin の積分に帰着する。

sin θ と cos^2 θ の積と見て、部分積分する。

etc.