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仕事柄外積を良く使い、物理的意味や用途は良く知っているものの、その導出がどのようになされたのかを調べてみたのですがどうもわかりません。3次元のベクトルP0[x0,y0,z0],P1[x1,y1,z1]の場合

 P0×P1=[y0*z1-z0*y1, z0*x1-x0*z1, x0*y1-y0*x1]

となりますが、なぜこの計算で「2ベクトルに対し直角なベクトル」が求められると先達は気づけたのでしょうか?

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A 回答 (6件)

#4です。


●WIKI
「ヘルマン・グラスマン」
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%98%E3%83%AB% …
上記より引用;
『ゴットフリート・ライプニッツの考えた、座標を用いない幾何学計算法の建設を目指した論文Geometrische Analyse を学会に提出し、1846年に賞を授与された。グラスマンの数学的業績で特に重要なのは広延論(Ausdehnunglehre)と称する理論に関する2論文(Die lineare Ausdehnunglehre, ein neuer Zweig der Mathematik, 1844 とDie Ausdehnunglehre: Vollständig und in strenger Form bearbeitet, Berlin 1862。それぞれA1およびA2と呼ばれている)にまとめられた』
 A1に答えが有るのでしょうね。
 「外積」の項には、『仕事』に対応する内積に対して、『面積』を表すA×Bを考え、A×BとB×Aの面の裏表を表す工夫から面に垂直なベクトルを考えた、そうするとその計算規則が定まるという意味のことが書いてある。それを座標系の基底ベクトルを求めるために用いたのがグラスマンというのなら、座標の基底ベクトルの変換則を定めるために考えたというのは正しいのかな。(人は違ってたけど・・・)
 ですが、それがリーマン空間とのかかわりで・・・と言うところは間違ってるでしょうね。
 ただ、これも運動学的な意味で・・・、軌道運動の接線ベクトル・主法線ベクトルに対して、「従法線ベクトル」を求めるための計算方法として考えついたのでは?
 軌道運動との関係ではもう1つ有って、まず天体の運動を「軌道平面内」で考えるだけで『角運動量』の計算式m(x・Vy-Vx・y)から「外積の成分」を求める計算式がでてくることがある。歴史的にはケプラーの『面積速度一定の法則』が先で、この角運動量が面積速度と結びついている。
 それを3次元で考え、回転の方向などを示すために面に垂直なベクトルを考えるようになるだろう。この面積速度(角運動量)のベクトル表示が先に有ったのではないだろうか?(ベクトルの命名はハミルトンのようだ。)ライプニッツあたりがそのようなことを行ったのではないだろうか?
 それを大きさで割って単位ベクトルにすれば座標軸の単位ベクトルにつながる。その計算規則を抽出して定義したのがグラスマンということなのだろうか?
 このあたりにヒントが有るのだろう。
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この回答へのお礼

なるほど
あたってみます

お礼日時:2009/09/02 13:41

●#4 なんという錯誤!


よくよく見たら、「グラスマン積」じゃない!「グロスマン」とは別人物!!
相対論を先に勉強したんで、ず~っと同一人物と思ってましたよ。数学の同じ分野のベクトル・テンソルについての研究者、ただし50年ぐらいの錯誤がある!
ちょっと困っちゃったね・・・修復不能!
ということで、#4は無視!よろしく
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<たわごと>


● 外積そのものでなく、「どのようにして考えついたか」という「数学の発展史・研究史」に関する疑問ですね。
● 外積の定義はグロスマンによるものでグロスマン積とも言われるとおりです。テンソルの変換則を考える際にグロスマン積として定義されたのが最初のようです。そこで、次のように考えましたが・・・
 ということは、テンソル解析=4次元空間での座標変換則を考える必要からグロスマン積が考えられ、その計算規則を3次元空間で利用した時に非常に便利なので、いわゆる外積が用いられるようになったのでは?・・・どうなのでしょう。グロスマンが定義したということが大きなヒントでは?

● グロスマンはアインシュタインの友人で、アインシュタインが一般相対性理論の展開を始めた初期論文の共著者で、数学部門を担当したことで有名です。
※ただし、自分にはグロスマンがアインシュタインと共同研究を始めたときに自分の数学をどの程度作り上げていたのかは良くわかりません。アインシュタイン選集の中でもにも初期論文のグロスマンの担当した数学部門は割愛してあったりして、その理論を作り上げるためにどのような考察を行ったのかとかのグロスマンの研究史等は全く知りません。また、リーマンがどのように幾何学を展開しているかも調べないといけませんが、リーマン選集は『高くって、購入できず』読んでおりません。断片的な知識のつなぎ合わせ・・・<たわごと>なのです。※

● <たわごとの中身>
 リーマン幾何学では線素dsが大きな働きをします。(以下、3次元で)dsの振る舞いがわかると、その近傍でのdsの振る舞いから測地線とその接平面が決まり、dsの接ベクトル方向(dvの方向)が決まり、それに垂直な方向として曲率の中心方向が決まります。3次元ではもう1つ、この双方に垂直な方向を定めることが必要になります。その3つの方向を定めて局所座標系の直交座標を作ります。
 だからグロスマンは、その接平面に垂直なベクトルを求める方法を考え、それを求めるための計算規則としてグロスマン積を考えたのではないか?とふと思ったのですけど・・・この計算規則を考え付く具体的な局面はここしかないのではないかと思うのですがどうでしょうか?

● この必要性は、例えば古くはコリオリ力、電磁気のフレミングの法則、レンツの法則などの例が有りますが、例えば『電流をx軸方向にとり、磁界をy軸方向にとったときに、左手直交系でz軸方向に力が働く』という表現で、計算によらなくても操作的な定義で済ますことができます。それまでは、このようにグロスマン積と等価な『左手の法則』を用いて方向を考えたのであって、”『計算規則』に拠って求めていたのではない”ということなのではないでしょうか。(リーマン自身が曲率を定義するときにどう述べているかを調べていればもうちょっと自信を持っていえるのですが)
 グロスマンのところまでいって、やっとその計算規則を定めることになったのは、抽象的な4次元空間では『指』を使った操作的な定義では考えることができなくなったからなのでは。『4次元空間の中の局所空間での座標系』を定めるために『基底ベクトル』を作る必要があり、それを作るための『計算規則』が必要で外積を考え付いたのではないだろうか?と推測できるのですが・・・・
 数学家の人、出番ですよ・・・・

この回答への補足

ご回答いただいた内容は動機についてが主なようですが、もちろんそのような動機があったから外積という手法が生まれたのでしょう。ただ、純粋に数学的に「他ベクトル全てに対して垂直になる」ということを導出できた過程が知りたいのです。

補足日時:2009/03/20 12:02
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基底Vector i(1)、i(2)、・・・、i(n)を含む


n次元、n個のVector P(1)、P(2),・・・、P(n)を考える。

このときの外積を次のようの定義する。
((P(1)xP(2))xP(3))・・・)xP(n)
=|i(1)、i(2),・・・、i(n)|
 |P(21)、P(22)、・・・P(2n)|
 |P(31)、P(32)、・・・P(3n)|
 |・              |
 |・              |
 |・              |
 |P(n1)、P(n2)、・・・   P(nn)| 

基底Vector i(1)、i(2)、・・・i(n)について
展開すれば外積が計算できる?


P0×P1
=|i(1)、i(2),i(3)|
 |x0、y0、z0|
 |x1、y1、z1|
= (y0*z1-z0*y1)i(1)
 +(z0*x1-x0*z1)i(2)
 +(x0*y1-y0*x1)i(3)

この回答への補足

もちろんこの計算の定義は存じ上げております。3次元でこの計算を行ったときに2ベクトルに対し垂直なベクトルが出来上がることも確認したことはあります。ただ私の疑問はなぜこれで他ベクトル全てに垂直なベクトルになることが導出できたのかということです。これって結果の数式を見ただけだと「n項目にはn番目の基底方向成分だけが含まれていない」という特徴がわかるぐらいですよね?しかしここからなぜこれで垂直になるのかということを考えてみてもわかりませんでしたし、おそらく代数の知識なしにはわからないような気がしています。

補足日時:2009/03/20 11:55
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3次元のx軸,y軸,z軸方向の単位ベクトルをi,j,jとするとき


単位ベクトル間のベクトル積を右手系として
ixj=k,jxk=i,kxi=j
jxi=-k,kxj=-i,ixk=-j
ixi=0,jxj=0,kxk=0
などと定義したため
一般のベクトル間のベクトル積が
P0×P1=[y0*z1-z0*y1, z0*x1-x0*z1, x0*y1-y0*x1]
と導出されたのではないでしょうか?
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この回答へのお礼

確かに計算テクニック的にはしっくりくるご説明ですが、方向が違う外積同士で和をとらなければならない理由がぴんとこないんですよねぇ。

お礼日時:2009/03/20 12:14

 というか、外積を「2ベクトルに対し直角なベクトル」と定義すると、直交座標系での成分表示がそうなっただけではないでしょうか。



 ご承知の通り、「2ベクトルに対し直角なベクトル」を求める意味は、物理分野ではよくありますから。
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この回答へのお礼

たしかにそのとおりかもしれません。もしその順序で考えられ、直感的に正しい方法が導き出されたというのであればそれまででしょう。しかし直感的な導出も検証なしには成り立たなかったはずです。その過程が知れれば幸いでした。
ご回答ありがとうございました。

お礼日時:2009/06/04 22:33

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Q外積の証明だけど

外積の解き方は学校で教えてもらえた(たすきがけの方法)のですが、実際どうして外積がいえるのかっというのは教えてもらえませんでした。

やはり、解くだけならいいのですが納得して使いたいので、どなたか教えていただけませんか?

Aベストアンサー

「どんな2つのベクトルa、bにも必ず垂直になるベクトルの求め方」を、求めてみます。
2つのベクトルの関係なのでベクトルp、qに対して
(p×q)
という謎の量を考えます。
まずベクトルなので成分に分けます。
a=Σα_i e_i
b=Σβ_i e_i
(e_iが基底でα_i、β_i がその係数。)
どんなベクトルでも成り立つような求め方でなくてはいけないので、
(a×b)=ΣΣα_iβ_j(e_i×e_j)・・・(★)
とできていてくれれば、どんな組み合わせのときも簡単に計算できます。
せっかくなので、こういう(p×q)があると仮定します。

基底e_i,e_jが垂直なときは3次元の場合は垂直な向きは1つしかありません。
 (e_x ×e_y)= ±e_z ・・・(1)
などなど。基底e_i,e_jが同じ向きの場合つまり(e_i × e_i)は
不定になってしまいますが
 (e_i ×(e_i+e_j))= (e_i × e_i)+(e_i × e_j)
というような場合、e_zの向きに向いていて欲しいので、
 (e_i × e_i)=0 ・・・(2)
が望ましいです。そこでそういうものだとします。
さらに
 0=((e_i+e_j) × (e_i+e_j) )
は(e_i × e_i)=0という条件をつかうと、
 0=(e_j× e_i)+(e_i× e_j)
が残ってしまいます。そこで、
 (e_j× e_i)=-(e_i× e_j) ・・・(3)
としましょう。
(1)で±のぶん自由度があるように見えますが、
e_yをe_zまで連続的に回転させたとき、右辺も連続的に回転します。
このときに符号が食い違っていたらだめです。・・・(4)
こういう条件を満たすようにするための組み合わせは
(i,j,k)=(x,y,z),(y,z,x),(z,x,y)で
 (e_i ×e_j)= e_k 

 (e_i ×e_j)= -e_k 
しかないことがわかります(って本当か?)。

これで、性質が出揃いました。
改めて、(★)を計算すると(3)から
 (e_y ×e_x)=-(e_x ×e_y)=-±e_z
などであることに注意すると、ご存知のたすき掛けが導出されます。
つまり、各基底の間の関係を都合の良いように決めて、
かつ、線型性を仮定すると導かれる性質だということです。

「どんな2つのベクトルa、bにも必ず垂直になるベクトルの求め方」を、求めてみます。
2つのベクトルの関係なのでベクトルp、qに対して
(p×q)
という謎の量を考えます。
まずベクトルなので成分に分けます。
a=Σα_i e_i
b=Σβ_i e_i
(e_iが基底でα_i、β_i がその係数。)
どんなベクトルでも成り立つような求め方でなくてはいけないので、
(a×b)=ΣΣα_iβ_j(e_i×e_j)・・・(★)
とできていてくれれば、どんな組み合わせのときも簡単に計算できます。
せっかくなので、こういう(p×...続きを読む

Q内積、外積の発想はどのようにしてなされたのですか?

意識的にしろ、無意識的にしろ、内積や外積が考えられたのには、何かしらの背景があると思うのですが、歴史的に見て、また、その当時の社会的背景などをかんがみて、これらの概念はどのように生まれたのでしょうか?

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どこが自然なのか?何を考えて内積や外積に気がついたのか?
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回答、よろしくお願いいたします。
皆さまの回答、お待ちしております。

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内積や外積、ベクトルの起源は、ハミルトンの四元数です。四元数の純虚数空間の数をベクトルと呼びます。
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平面と平面の位置関係が垂直になる時、内積がゼロになることに関しまして、

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visualにいうこととして、幾何学的に考えてはどうですか。

ベクトルA↑とベクトルB↑の内積IPは

IP=A↑・B↑=|A↑||B↑|cosθ

であって|A↑|、|B↑|はベクトルの大きさ、θはA↑、B↑のなす角度です。

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θ=90°

を意味することが解ります。

いいかえるとIP=A↑・B↑はA↑がB↑に落とす影(射影)であって、垂直なら影が0ということです。

0でない場合はA↑とB↑は平行成分を有して、相互に影を落とすということです。

Q検流計と電流計の違い

検流計と電流計は 道違うのですか?
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検流計は電気がどっち向きにどのくらい流れているか調べる装置
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Q空気抵抗の式について

空気抵抗は次式で求められるそうですが、なぜ2で除すのか理解できません。
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      F=P*C*S*V^2
となり、2で除する必要がない気がするのですが・・・
宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

 
 
>> 物体は1秒間にVm進み、気体のほうは1秒間に1/2Vm進む、つまり物体に追い越される。「物体が気体を追い越しながら気体を押す」という点が理解し難い。 <<

 (申し訳ありません!この質問忘れてましたご免なさい。)


 メートルとか秒という巨視的なスケールで考えずに、気流の微小体積部分が微小時間の間に‥とイメージしましょう。物理学全般の定石です。

 「追い越しながら加速」ができるのは、物体の固体摩擦と流体の粘性摩擦があるためです。お互いがこすれ合うだけで相手を加速/減速できますよね。 流体の中では 微細部分どうしもこすれ合ってます。だから物体の表面からもらった速度が 広い範囲に次々と分配されて広がって薄まってゆきます。

 No.4の回答も微小な速度変化のつもりで書きました。(巨視的なスケールで考えてしまうと、V は直線変化と限らないので係数が 1/2 である説明になりません。)
これの元ネタは 力学エネルギの定義 です; 力Fで動いた距離dxの積 Fdx がエネルギの定義、 微小距離 dx の間の速度変化は直線と見なされるので時間積分して距離を求めると係数 1/2 が登場する‥というやつです。 で、ベルヌーイの定理の式は エネルギ保存の法則の式 そのまんまですから 係数 1/2 も素のママで登場してます。それが空気抵抗の式にも引き継がれてる、、、という系図です。



 余談;
 空気抵抗は、速度の1乗で効く「粘性抵抗」と、速度の2乗で効く「慣性抵抗」があります。 どちらも運動量保存の法則によるものです。 前者は 流体が物体表面をなでて通る際に物体の運動量を分与され、それが流体分子同士のランダム衝突でバトンタッチされて物体表面からどんどんバケツリレー式に汲み出されてしまう現象です。 後者は 流体分子が物体と正面衝突して速度V に加速される際に物体側の運動量がモロに減る現象です。
 大胆(かつ不正確)に例えれば、槍のような棒が飛んでる場合、前者は棒の側面を空気がなでる抵抗、後者は棒の正面の面積が空気と正面衝突する抵抗です。
 後者の場合、あまりに急な衝突で 周辺とのやり取りが間に合わないと いわゆる「断熱圧縮」になって空気が高温になります。スペースシャトルで、その高温空気が機体の内部に侵入し、金属が熔けて空中分解に至って乗員が死亡した事故が有名です。(事故当時 「 超音速で空気とこすれたための摩擦による熱が原因 」 という報道説明がよくありました。クルマのブレーキ過熱などの日常経験からの演繹でしょうが、流体力学的に正しいのは粘性抵抗の方ではなく慣性抵抗。後者が圧倒的に大きいです。超音速ゆえ断熱圧縮になり物体先端に集中しました。)

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=908588
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=901153

 もし流体に摩擦が無かったら; 上記の「粘性抵抗」も「慣性抵抗」も「揚力」も起きません。
 
 

 
 
>> 物体は1秒間にVm進み、気体のほうは1秒間に1/2Vm進む、つまり物体に追い越される。「物体が気体を追い越しながら気体を押す」という点が理解し難い。 <<

 (申し訳ありません!この質問忘れてましたご免なさい。)


 メートルとか秒という巨視的なスケールで考えずに、気流の微小体積部分が微小時間の間に‥とイメージしましょう。物理学全般の定石です。

 「追い越しながら加速」ができるのは、物体の固体摩擦と流体の粘性摩擦があるためです。お互いがこすれ合うだけで相手を...続きを読む

Q行列式の意味

行列式の値は何を意味しているのか。教えてください
例えば、2次方程式の判別式の値はそれによって、解の存在についてしることができる。どうしてそうなのかも解の公式から、よく分かる。
行列式の値は何のためにあるのか、よく分かりません。
行列式は何のためにあって、そしてそれはどうしてそういえるのか。
この2点について、ご指導お願いします。

Aベストアンサー

行列式の意味にはいろいろな立場から複数の解釈があると思いますが、その中の一つとして、行列式は線型変換の"倍率"であると言えます。


行列が線型変換を表すというのは御存じでしょうか?
いま2×2行列Aと、2次元ベクトル(x;y)があったとします。
ベクトルに行列を左から掛けて
  (u;v) = A(x;y)
とすると新たな2次元ベクトル(u;v)が得られますが、これを(x;y)がAによって(u;v)に変換された(写された)と考えます。
Aという行列は様々な(x;y)をそれぞれの(u;v)に変換するので、x-y平面をu-v平面に変換しているとも考えられます。

行列が行う変換はいわゆる線型変換ですから、原点中心の拡大縮小か剪断のみです。
ですから行列によって平面を別の平面に変換したときも、変換前の平面と変換後の平面は、それぞれの軸の目盛りの幅が違ったり二つの軸の交わる角度が違ったりというような違いがあります。


さてここからが本番です。
いまx-y平面上で二つのベクトル(a;b),(c;d)を考え、この二つのベクトルによって作られる平行四辺形を考えます。
それぞれのベクトルを行列Aで変換して、
  (p;q) = A(a;b)
  (r;s) = A(c;d)
によって、新たなベクトル(p;q)と(r;s)が得られました。
そうしてこの新たな二つのベクトルによって作られる新たな平行四辺形を考えてみます。
特に注目するのは平行四辺形の面積が変換によってどう変わるかです。

結論から言うと、行列Aで平面を変換した結果、変換後の平行四辺形の面積は変換前の面積より|A|倍に引き延ばされていると言えるのです。
これは"ある平行四辺形"に対してだけの話ではなく、Aという変換によって平面全体が(大きさの目安として)|A|倍に引き延ばされたと考えられるのです。
(といってもただ拡大されたのとは違いますよ。剪断がありますから。)

なぜそんな事が言えるのか、それはx-y平面における単位ベクトル(1;0),(0;1)が作る単位平行四辺形を線型変換してみて、変換後のu-v平面における単位平行四辺形の面積を求めて見ればわかるでしょう。
それはご自身でやってみてください。


いままでのは2次元平面での話でしたが、これをn次元に拡張することもできます。
n×n行列Aによって、n次元ベクトル空間から別のn次元ベクトル空間への変換をかんがえたとき、もとの空間での図形の体積は変換後には|A|倍に引き延ばされています。
線型変換Aと変換の倍率|A|が対応しているわけです。

行列式の意味にはいろいろな立場から複数の解釈があると思いますが、その中の一つとして、行列式は線型変換の"倍率"であると言えます。


行列が線型変換を表すというのは御存じでしょうか?
いま2×2行列Aと、2次元ベクトル(x;y)があったとします。
ベクトルに行列を左から掛けて
  (u;v) = A(x;y)
とすると新たな2次元ベクトル(u;v)が得られますが、これを(x;y)がAによって(u;v)に変換された(写された)と考えます。
Aという行列は様々な(x;y)をそれぞれの(u;v)に変換するので、x-y平面をu-v平面に変換...続きを読む

Q光速度が不変なのには理由があるのでしょうか?

光速に関する素朴な質問です。

1.なぜ光速度は不変なの?
 光の速度はいかなる理由によって不変と決まっているのでしょう。
 方程式を解くように論理的に説明ができるのでしょうか?
 それとも実験結果を受け入れているだけですか。
2.本当に光速度は不変なの?
 空気、真空、水の中でも進む速度は同じですか?
 光が水に入ると屈折しますが、これは速度が変化しているのではありませんか。
 AからBに向かう光の渦の中をBからAに向けて発射された光は遅くなりませんか?
 光に邪魔(干渉)されて遅くなる気がするのですが。
3.どうして遅くならないの?
 光速に限界があるのは、光子に質量があるためと理解しています。
 しかし、遅くすることは可能なのではないでしょうか?
 光子の質量を重くしたり、エネルギーを奪うようなことはできないのでしょうか。
 波動の性質を変えたりできませんか?
4.電磁波の進む速度は?
 光は電磁波の一種、可視光線だそうです。
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 光より遅いとすると、どうして遅いのでしょうか?
5.時間が進むのは一定であるという前提で相対性理論はできませんか?
 相対性理論は、光速度が不変であると仮定して成り立っています。
 だから時間の進み方が早かったり、遅かったりします。
 逆に時間が進むのが不変であるという仮定して、新相対性理論はできませんか?

光速に関する素朴な質問です。

1.なぜ光速度は不変なの?
 光の速度はいかなる理由によって不変と決まっているのでしょう。
 方程式を解くように論理的に説明ができるのでしょうか?
 それとも実験結果を受け入れているだけですか。
2.本当に光速度は不変なの?
 空気、真空、水の中でも進む速度は同じですか?
 光が水に入ると屈折しますが、これは速度が変化しているのではありませんか。
 AからBに向かう光の渦の中をBからAに向けて発射された光は遅くなりませんか?
 光に邪魔(干渉)...続きを読む

Aベストアンサー

 物理学は、自然界で見られる現象に対して法則を見つけようとする学問です。そういった法則の中には、もっと基本的な法則から理論的に導かれるものもあります。そうやって整理していくと、最後には、他の法則からは導くことができない基本法則だけが残ります。その基本法則は、観測によってのみ、根拠を与えられます。
 質問の主旨は、光速度が不変であることは、基本法則なのかどうか、ということだと思います。ローレンツは、他の法則から光速度不変を説明しようとして、ローレンツ変換の式を求めました。ローレンツが考えたのは、物体がエーテル中を運動すると、エーテルとの電磁気的な力によって物体が圧縮され、長さが縮むので光の速さに差が出てこないように観測される、というものでした。これに対してアインシュタインは、光速度不変が基本法則であるとしました。その仮定に基づき、ローレンツ変換の式を求めました。考え方は違いましたが、求められた変換式はどちらも同じものでした。
 得られた変換式はどちらの考え方でも同じです。そうすると、どちらの考え方が正しいと言えるのでしょうか。歴史的に見れば、アインシュタインの考え方が受け入れられたようですが。
 真空以外の媒質中では光の速度は遅くなりますが、それはマクロ的に見た場合です。例えば水中を光が動く場合、水の分子と分子の間は真空ですから、そこの間は真空中の速度で動いていますが、分子によって光が吸収、放射され、マクロ的に見たとき、速度が遅く観測されます。通常、光速度不変という場合は、真空中での光速度を言うようです。ここでひとつ注意しなければならないことは、真空中の光速度が不変という場合、重力場ではない、という条件が必要です。重力場内では、光速度は遅くなります。したがって、質問者さんの、光の速度を遅くするのは可能か、に対しては、重力場を通せば遅くなる、と言えます。
 最後に光子の質量についてです。光子に質量があるというのは間違いですが、ないというのも間違いです。正しくは、光子の質量は定義できないし、定義する必要もない、です。光子の質量はゼロである、という話はよく聞きますが、これは静止質量のことを言っています。これまで他の方々が説明されておりますように、光の速さは一定であり、静止することはありません。したがって、光子の静止質量に意味はありません。

 物理学は、自然界で見られる現象に対して法則を見つけようとする学問です。そういった法則の中には、もっと基本的な法則から理論的に導かれるものもあります。そうやって整理していくと、最後には、他の法則からは導くことができない基本法則だけが残ります。その基本法則は、観測によってのみ、根拠を与えられます。
 質問の主旨は、光速度が不変であることは、基本法則なのかどうか、ということだと思います。ローレンツは、他の法則から光速度不変を説明しようとして、ローレンツ変換の式を求めました。ロ...続きを読む

Qtanxのマクローリン展開について

「f(x)=tanxのマクローリン展開をn=3まで求めなさい」という問題について、悩んでいます。

f(x)=sin(x)やf(x)=cos(x)の例を参考に、f'(0)、f''(0)、f'''(0)より級数形式の一般項を求めようとしました。

tanx=sinx/cosxなので、f'=1/cos^2xですが、このままf''、f'''と求めるのは大変面倒な気がします。

最終的な回答は、x+x^3/3+2x^5/15+34x^7/315らしいのですが、こちらから一般項に辿り着けません。

わかる方がいらっしゃいましたら、教えてください。
できましたら、途中の進め方を詳しくお願い致します。

Aベストアンサー

1/(cosx)^2=1+(tanx)^2という公式をフル活用します。
tanxをxで微分すると
(tanx)'=f'(x)=1/(cosx)^2=1+(tanx)^2
となります。
あとは
f''(x)=2*(tanx)*(tanx)'=2tanx+2*(tanx)^3
f'''(x)=2(tanx)'+2*3*(tanx)^2*(tanx)'=2+8tanx^2+6(tanx)^3
といった感じで、f''(x)、f'''(x)、…は計算できます。

Q「ノルム、絶対値、長さ」の違いについて

あじぽんと申します。よろしくお願いします。

ベクトルや複素数などに出てくる「ノルムと絶対値と長さ」というのは同じことを違う言葉で表現しているのでしょうか?
手元にある書籍などには全てが同じ式で求められています。
同じ式で表現されていても意味は少しづつ違っていたりするのでしょうか?

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

どれも同じような性質を持ちますが、違いの1つとして定義される空間が違います。

「絶対値」は、実数や複素数といった「数」に対して定義されます。
定義は、一通りしかありません。
ベクトルに対して、絶対値を求めるという言い方をする場合もあるかもしれませんが、それはベクトルの長さを表す記号に絶対値の記号を利用する場合があるからであり、参考書にも文章として「ベクトルの絶対値」という言い方はあまりされていないのではないでしょうか?



「長さ」というのは、空間にある「線」に対して定義できます。
数に対しては「長さ」という言い方はあまり聞かないと思います。
例えば、「3」の長さというような言い方は耳になじまないと思います。
一方、ベクトルの場合は、「矢印」という「線」になりますので「長さ」が定義できます。



最後の「ノルム」は、線形空間に対して定義できます。(もちろん実数、複素数やベクトルも線形空間です)
ノルムの条件を満たせばノルムになるため、複数のノルムが考えられます。
そのため、「(1,1)というベクトルに対するノルムは?」
という質問に対しては、「どのノルムを使うか?」という条件が欠けているため厳密に言うと「解答はできません」。
例としてよく扱われるノルムは「ユークリッドノルム」と言われ、通常のベクトルの長さと等しくなります。

ベクトルに対するノルムでは、「最大値ノルム」というのが他の例としてよく使われます。
これは、ベクトルの各要素の最大値で定義されます。
(例:(3,1,5)というベクトルの最大値ノルムは、3つの数字の最大値である5になります)

ノルムというと、線形空間であれば定義できるため、
f(x) = 3x^2+5x
という数式に対するノルムというのも考えられます。
(数式は、定数倍したり、足し算したりできますよね)
数式に対して「絶対値」とか「長さ」と言ってもピンと来ないですよね。

しかし、まだやられていないかもしれませんが、数式に対するノルムというのは存在します。


そうすると、なんでこんなんがあるねん。って話になると思います。

ここで、ベクトルに対してある定理があったとします。

それがさっきのような数式など他の線形空間でも成り立つんだろうか?
というのを考えるときに「ノルム」の登場です。

その定理の証明で、「ベクトル」として性質を使わずに「ノルム」の性質だけを使って証明ができれば、
それは「ベクトル」に対する証明でなくて「ノルムを持つもの」に対する証明になります。
(ちょっと難しいかな?)


このようにして、定理の応用範囲を広げるために「長さ」や「絶対値」の考え方をベクトルだけでなく「線形空間」という広い考え方に適用できるようにしたのが「ノルム」になります。

どれも同じような性質を持ちますが、違いの1つとして定義される空間が違います。

「絶対値」は、実数や複素数といった「数」に対して定義されます。
定義は、一通りしかありません。
ベクトルに対して、絶対値を求めるという言い方をする場合もあるかもしれませんが、それはベクトルの長さを表す記号に絶対値の記号を利用する場合があるからであり、参考書にも文章として「ベクトルの絶対値」という言い方はあまりされていないのではないでしょうか?



「長さ」というのは、空間にある「線」に対して...続きを読む

Qdxやdyの本当の意味は?

宜しくお願いします。

昔、高校で
dy/dyの記号を習いました。これは分数ではなくて一塊の記号なのだと習いました。
が、微分方程式ではdyとdxをばらばらにして解を求めたりします。
「両辺をdy倍して…」等々、、、
また、積分の置換積分では約分したりもしますよね。

結局、dy/dxは一塊ではないんですか??やはり分数なのですか?
(何だか高校の数学では騙されてたような気がしてきました)
一塊の記号でないのなら分数っぽい記号ではなくもっと気の利いた記号にすればいい
のにとも思ったりします。

実際の所、
dxの定義は何なんですか?
dyの定義は何なのですか?
本当はdxとdyはばらばらにできるのですか?

どなたかご教示いただけましたら幸いでございます。

Aベストアンサー

数的に定義するというのが、いわゆる微分形式というもののことで、完全に代数的にこれらを定義することができます。ただ、定義しただけでは普通の微分とどう関係があるのか分かりにくく、その辺りは大学の2回生程度の数学になります。

dxというのは微分形式の立場からいうと、xという(座標)関数の全微分のこと、つまりd(x)のことです。dという記号はここでは全微分を表す記号だと思ってください。別の座標yを取ったとき、yの全微分をd(y)と書きます。現実には、座標といったときは曲がった座標を取るよりは、普通のまっすぐなユークリッドの座標xを基準に取ることがほとんどです。そういうわけで、微分形式(特に1次の微分形式)はdxを基準に取ることが普通です。もちろんdyも1次の微分形式と呼ばれます。なにやら難しそうだけれども、dxや、dyといったものは、座標関数の全微分を表すものなんだ、ということで、単独で定義できるものだということは理解しておいて欲しいと思います。

さて、ふたつの座標x、yには通常ある種の関数関係があることがほとんどです。たとえばy=log xなど。これはグラフのイメージでいうと、普通のグラフを対数グラフにした、というイメージです。あるいは、中学高校でよくやっているのは(もちろん意識してませんが)、x軸かy軸を適当に尺度を変えてやるという変換、y=axというのもよくやります。さて、このときyの全微分をxの全微分で表せないか?ということを考えます。それが次の式です。大学では多変数バージョンを普通やります。

y=f(x)とyがxの関数でかけているとき、yの全微分d(y)はxの全微分d(x)を用いて、
d(y)=f'(x)d(x)
と表される。

これは微積分でやる置換積分の公式(チェイン・ルール)と呼ばれるものそのものです。代数的取り扱いに慣れているのならば、微分形式を抽象的な階数付交代代数と思うことができて、上で表されるチェイン・ルールが成り立つもの、と定義してもよいかと思います。いずれにせよ、微分形式の立場からいうと、d(x)やd(y)は単独に定義できる諸量です。

その意味では、dy/dxという記号は二つの意味に解釈できます。すなわちyというxの関数をxで微分した、という単なる記号だと思う方法(もちろんそれはy=f(x)であるときは、f'(x)を指すわけです)、ただし(d/dx)yと書くほうが望ましい。もうひとつは、微分形式dyとdxの変換則とみる(つまりdyとdxの比だと思う)という方法です。これはdy=f'(x)dxなのだから、dyはdxに比例定数f'(x)で比例している、と思うのだ、というわけです。分数の表記は形式的な意味しか持ちません。ですが、この両方の解釈をよくよく考えてみると、dy/dxは本当に分数のように扱うことが出来ることも意味しています。むしろそうできるように微分形式(dyとかdxとか)の記号を作ったと思うほうがよいでしょう。もう一度かくと、(d/dx)y=dy/dxなのだ、ということです。左が微分記号だと思う立場、右が微分形式の比だと思う立場。いずれも同じ関数f'(x)になっているのです。学習が進めば進むほど、この記号のすごさが理解できると思います。うまく出来すぎていると感嘆するほどです。

微分記号と思うという立場にたったとき、なぜd/dxと書くのか、あるいは積分記号になぜdxがつくのか、ということは高校レベルの数学では理解することはできません。もともとたとえばニュートンなんかが微分を考えたときは、d/dxなどという記号は使わず、単に点(ドット)を関数の上につけて微分を表していたりしました。そういう意味では、現在の微分記号のあり方というのは、単に微分するという記号を超えて、より深遠な意味を持っているとてもすごい記号なのだといえます。

なお蛇足ですが、1次の微分形式は、関数xの微小増加量(の1次近似)とみなすことができて、その意味で、無限小量という解釈も出来ます。物理などでよく使われる考え方です。またこれは大学3年レベルだと思いますが、微分形式を積分したりします。実はそれが高校でも現れる、∫(なんとかかんとか)dxというやつなのです。

数的に定義するというのが、いわゆる微分形式というもののことで、完全に代数的にこれらを定義することができます。ただ、定義しただけでは普通の微分とどう関係があるのか分かりにくく、その辺りは大学の2回生程度の数学になります。

dxというのは微分形式の立場からいうと、xという(座標)関数の全微分のこと、つまりd(x)のことです。dという記号はここでは全微分を表す記号だと思ってください。別の座標yを取ったとき、yの全微分をd(y)と書きます。現実には、座標といったときは曲がった座標を取るよりは、...続きを読む


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