電磁気学 球座標 電位

電磁気の問題で、「半径Ｒの球面上に一様に分布した電荷による静電ポテンシャルを求めよ。」で球極座標がわかりません。この問題はまず、球の極座標を考えます。
Ｖ＝｛１/（４πε0）｝∫（０→２π）∫（０→π）｛（σｒ＾２ sinθ dθ ｄφ）/（√[Ｒ＾２　+ｒ＾２　－２Ｒｒcosθ]）｝
を計算します。
ｚ軸のある点Ｐ（０,０,ｚ）と微小面積ｄＳを結んだＷは、Ｗ＝（√[Ｒ＾２　+ｒ＾２　－２Ｒｒcosθ]になるのですが、なぜこういう風になるのでしょうか。Ｗ＝√[ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２]は分かっていて、『√[Ｒ＾２　+ｒ＾２』までは分かるのですが、『　－２Ｒｒcosθ] 』が分かりません。

No.2 ベストアンサー 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2009/05/04 16:02

>Ｗ＝√[ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２]は分かっていて

これが間違ってると思いますよ。
積分の中身はクーロンの法則から出てくる静電ポテンシャルですから、
電荷qの点電荷であれば

V = ｛１/（４πε0）｝[ q / W ]

で、ここのWは観測点と電荷の位置を結ぶ距離です。
なので、電荷の位置を(X,Y,Z), 観測点を(x,y,z)とすると

Ｗ＝√[(ｘ-X)＾２＋(ｙ-Y)＾２＋(ｚ-Z)＾２]

です。

この問題では点電荷ではなく密度σで球面上に広がった電荷を考えてるので、
球面上の微小面積dSに含まれる電荷量がσdSとなり、
この微小面積からのＶへの寄与をdVとすると

dＶ＝｛１/（４πε0｛（σdS）/ W｝
＝１/（４πε0｛（σdS）/ (√[(ｘ-X)＾２＋(ｙ-Y)＾２＋(ｚ-Z)＾２]）｝

であり、これを電荷がある位置全て(つまり球面上)でX, Y, Zについて
積分すれば答になります。

これをそのまま積分するよりも球座標を使ったほうが簡単になるので
球座標を取ると

dS = R^2 sinθdθｄφ
W = √[Ｒ＾２　+ｒ＾２　－２Ｒｒcosθ] 　(これの導出は#1さんが書かれています)

※　質問文中のｒ^2 sinθはR^2 sinθの間違いだろうと思います。
確認してください。

No.1 回答者： Akira_Oji 回答日時： 2009/05/04 13:54

これは余弦定理で、できます。

（同じことですが）
ベクトルで説明します。今、ベクトルＡを「Ａ＿」のように書きます。
原点からの位置ベクトルで、２つの点の位置ベクトル
ｒ＿
と
Ｒ＿
の間の角度をθとすれば、その２点間の距離は
｜ｒ＿－Ｒ＿｜＝√｛（ｒ＿－Ｒ＿）・（ｒ＿－Ｒ＿）｝
＝√｛ｒ＿・ｒ＿＋Ｒ＿・Ｒ＿－２ｒ＿・Ｒ＿｝
＝√｛ｒ＾２＋Ｒ＾２－２ｒＲｃｏｓθ｝
となります。