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一定半径Rの半円周上をx方向の速度がVx=Vo=一定となる運動をしている質量mの質点がある。質点の速度と加速度のx,y方向成分Vx,Vy,ax,ayをVo,R,θを用いて表せ。
この問題をお願いします。

A 回答 (2件)

質点mの座標(x,y)は一般に


x=Rcosθ   (1)
y=Rsinθ   (2)

速度のx-成分は
v_x=(d/dt)x=(d/dt)(Rcosθ)=R(d/dt)(cosθ)
これがv_0に等しいので
v_x=R(d/dt)(cosθ)=v_0   (4)
(d/dt)(cosθ)=v_0/R   (4’)

-sinθ・(dθ/dt)=v_0/R --> (dθ/dt)=-(v_0/R)/sinθ  (5)

もし、われわれがθをtの関数として表したいなら、(4’)の両辺をtで積分して
cosθ=(v_0/R)t+C   (6)

ここで、Cは積分定数で時刻t=0における、cosθの値cos(θ_0)
cosθ=(v_0/R)t+cos(θ_0)   (6’)

簡単のため、時刻t=0における、θの値θ_0をPi/2ととれば、
cosθ=(v_0/R)t   (6”)
sinθ=(1-(cosθ)^2)^(1/2)=(1-((v_0/R)t)^2)^(1/2)   (7)
θは0<θ<Pi

y-成分は
v_y=(d/dt)y=(d/dt)(Rsinθ)=R(d/dt)(sinθ)=Rcosθ・(dθ/dt) (8)

これは(5)を使って、   
v_y=-Rcosθ・(v_0/R)/sinθ=-(v_0)cosθ/sinθ   (9)

これは(6”)と(7)を使ってtの関数としても表せます。

加速度は題意よりx-成分は
a_x=0   (10)

加速度のy-成分は
a_y=(d/dt)(v_y)=(d/dt){-(v_0)cosθ/sinθ}
=-(v_0)(d/dt){cosθ/sinθ}
=-(v_0)(d/dθ){cosθ/sinθ}・(dθ/dt)   
=-(v_0)(-(cosecθ)^2)・(dθ/dt)
=(v_0)(cosecθ)^2・{-(v_0/R)/sinθ}
=-((v_0)^2/R)(cosecθ)^2/sinθ
あるいは少し整理して、
a_y=-((v_0)^2/R)/(sinθ)^3   (11)

v_yとa_yは分母のsinθのために、θ=0とPiで予想通り発散しますね。
計算は間違いがあるかもしれませんので確認して下さい。       
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この回答へのお礼

丁寧な回答ありがとうございます。非常に助かりました。

お礼日時:2009/05/10 22:34

Vx=Vo=一定



  これは、初速が一定ということを意味していますか?
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