物理学基礎の問題

一定半径Rの半円周上をx方向の速度がVx=Vo=一定となる運動をしている質量mの質点がある。質点の速度と加速度のx,y方向成分Vx,Vy,ａx,ａyをVo,R,θを用いて表せ。
この問題をお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： Akira_Oji 回答日時： 2009/05/09 07:11

質点ｍの座標(x,y)は一般に

x=Rcosθ　　　（１）
y=Rsinθ　　　（２）

速度のx－成分は
v_x＝(d/dt)x=(d/dt)(Rcosθ)=R(d/dt)(cosθ)
これがv_0に等しいので
v_x＝R(d/dt)(cosθ)＝v_0　　　（４）
(d/dt)(cosθ)＝v_0/R　　　（４’）

-sinθ・(dθ/dt)＝v_0/R　－－＞　(dθ/dt)＝-(v_0/R)/sinθ　　（５）

もし、われわれがθをｔの関数として表したいなら、（４’）の両辺をｔで積分して
cosθ＝(v_0/R)t+C　　　（６）

ここで、Cは積分定数で時刻ｔ＝０における、cosθの値cos(θ_0)
cosθ＝(v_0/R)t+cos(θ_0)　　　（６’）

簡単のため、時刻ｔ＝０における、θの値θ_0をPi/2ととれば、
cosθ＝(v_0/R)t　　　（６”）
sinθ=(1-(cosθ)^2)^(1/2)＝(1-((v_0/R)t)^2)^(1/2)　　　（７）
θは０＜θ＜Pi

y－成分は
v_y＝(d/dt)y=(d/dt)(Rsinθ)=R(d/dt)(sinθ)=Rcosθ・(dθ/dt) （８）

これは（５）を使って、　　　
v_y＝-Rcosθ・(v_0/R)/sinθ=-(v_0)cosθ/sinθ　　　（９）

これは（６”）と（７）を使ってｔの関数としても表せます。

加速度は題意よりｘ－成分は
a_x=0　　　（１０）

加速度のy－成分は
a_y=(d/dt)(v_y)=(d/dt)｛-(v_0)cosθ/sinθ｝
=-(v_0)(d/dt)｛cosθ/sinθ｝
=-(v_0)(d/dθ)｛cosθ/sinθ｝・(dθ/dt)　　　
=-(v_0)(-(cosecθ)^2)・(dθ/dt)
=(v_0)(cosecθ)^2・｛-(v_0/R)/sinθ｝
=-((v_0)^2/R)(cosecθ)^2/sinθ
あるいは少し整理して、
a_y=-((v_0)^2/R)/(sinθ)^3　　　（１１）

v_yとa_yは分母のsinθのために、θ=0とPiで予想通り発散しますね。
計算は間違いがあるかもしれませんので確認して下さい。　　　　　　　

この回答へのお礼

丁寧な回答ありがとうございます。非常に助かりました。

お礼日時：2009/05/10 22:34

No.1 回答者： DIooggooID 回答日時： 2009/05/08 21:02

Vx=Vo=一定

　　これは、初速が一定ということを意味していますか？