定義の微分

f(x)=x^2+1を定義に従い微分せよ


y=3x^2とかは
dy/dx=3×2xとするように言われたんです。
つまりdy/dxと置けという事です。

でもf(x)=x^2+1はdy/dxと置けないですよね？
普通にf`(x)＝～から始めちゃダメなんですかね。
でも、y=3x^2とかは
y`(x)で始めないでdy/dxで始めろって言われましたし

No.1 回答者： owata-www 回答日時： 2009/05/23 03:01

定義に従えということは

(d/dx)f(x)＝{f(x+h)-f(x)}/h
を使って解けということかと思われます

No.2 回答者： sanori 回答日時： 2009/05/23 03:35

こんばんは。

お久しぶり。
相変わらず、質問するときのエチケットがなってないですね。

式の書き方・置き方の問題ではないです。
ｆ’（ｘ）だろうが、ｄｙ／ｄｘだろうが、ｙ’だろうが、
どれでもよいのです。

「定義にしたがい微分せよ」というのは、
いわば、「自分は微分の定義しか知らず、微分の公式は一切知らない人だと思って微分しなさい」
ということです。
微分の定義は、教科書の最初のほうに書いてあるはずです。

ですから、
y=f(x)=3x^2　のとき、公式をつかって、dy/dx=df/dx=3×2x　と解いたり
y=f(x)=x^2+1　のとき、公式を使って、dy/dx=df/dx=2x　と解くのではなく、
分母にｈが来る式で、ｈ→０　の極限として解け、ということです。

ｆ（ｘ）　＝　ｘ^2　＋　１

ｄｆ／ｄｘ　＝　ｆ’（ｘ）
　＝　lim[h→0]　｛ｆ（ｘ＋ｈ）　－　ｆ（ｘ）｝／ｈ
　＝　lim[h→0]　［｛（ｘ＋ｈ）^2　＋　１｝－（ｘ^2　＋　１）］／ｈ
　＝　lim[h→0]　［｛（ｘ^2＋２ｈｘ＋ｈ^2）　＋　１｝－（ｘ^2　＋　１）］／ｈ
　＝　lim[h→0]（２ｈｘ＋ｈ^2）／ｈ
　＝　lim[h→0]　２ｘ＋ｈ
　＝　２ｘ

公式で微分するのと、同じ結果になるでしょ？


では。