f(x)=sqrt(x), x>=0
がリプシッツ連続でないことを示そうとしていています.
|f(x)-f(y)|/|x-y|が定数で押さえられない,という方向で
述べようと思っていますが,原点のあたりで接線の傾きが急になる
というイメージは湧くもののうまく論述できません.
どなたかご教授いただけたらと思います.
よろしくお願いいたします.

A 回答 (1件)

リプシッツ連続は、


∃k≧0, ∀x∈D, ∀y∈D, | f(x) - f(y) | ≦ k | x - y |
( この場合、f(x) = √x, D = { x | x ≧ 0 } )
ですから、その否定は、
∀k≧0, ∃x∈D, ∃y∈D, | f(x) - f(y) | > k | x - y |

この ∃x∈D, ∃y∈D が (x,y) ≒ (0,0) に在ることに
気づいているなら、もう、できたようなモンでしょう。

あとは、背理法の形に文章を整えるだけです。
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Qリプシッツ連続と一様連続

リプシッツ連続と一様連続が(定義は分かるのですが)違いが良く分かりません。

リプシッツ連続ならば一様連続と本に書いてあったのですが、一様連続んらばリプシッツ連続、は成立しないのでしょうか。

Aベストアンサー

リプシッツ連続はx≠yとして|f(x)-f(y)|/|x-y|≦Lと変形てきます。
y→xのとき、これが何を意味しているかを#1さんの例の原点で考えれば違いが解るのではないでしょうか。

Q微分方程式のリプシッツ連続に関する問題です。

微分方程式におけるリプシッツ連続に関する質問です。
リプシッツ連続な関数で、f(x)=xのような初歩的なものでなく、よりレベルの高い関数ではどのような例がありますか?
できればその証明も教えていただきたいです。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

この性質そのものが書いてる本は限られるかもしれませんが要となる事実は
「絶対連続である関数はある局所可積分関数(locally L^1)の定積分で表される」というものです。
これは実解析と呼ばれる本であれば大抵載っているはずです。
そして、リプシッツ連続性との繋がりですが、まずリプシッツ連続であれば絶対連続であることは定義より明らかですよね?そこで上の定理を使えばあるL^1関数hの定積分になっているわけです。すなわち、


f(x)=∫_0^x h(t) dt

これは言い換えるとリプシッツ連続な関数はほとんどいたるところ微分可能でその導関数はhで、更にリプシッツ連続の条件よりhは有界でなければならず、fは「有界、局所可積分な関数」の定積分で実現されることが分かります。しかしながら、有界であれば局所可積分なので結局単に有界な可測関数の定積分でなければならないことが従います。

Q上極限、下極限が理解できません

大学で習っているのですが、limsupやliminfなどが定義を見ても、どういう意味なのか理解できません。

上界、下界、上限、下限については例があったので、なんとか理解することができました。


X={1,2,3}⊆Zのとき、下界の1つとして0がとれる。

こんな感じで、簡単な例つきで説明して下さると、理解できると思うのですが・・・。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

上極限

sin(n)で考えましょう。nは自然数です。
sin(n)は振動しているので極限はないけど、
「nが大きい時(というか初めからだけど)1を超えることはない」
「1付近の値を何回も(無限回)とる」
から1が上極限です。
ことばでいえば、
「ずっと先のほうでは、上極限の値より大きくならない」
(極限の意味でです。∀ε>0に対し上極限+εより大きくならないってことです)



この例では下極限はー1ですね。

(sin(n)-1)*n の場合だと、
上極限は0で、下極限は「なし」(-∞)となりますね。

Q微分可能なのに導関数が不連続?

一般にm回微分可能でも(d^m/dx^m)f(x)は連続ではないそうですが(本で読みました。)
f(x)が微分可能で、導関数f'(x)が連続でないような関数f(x)の例を教えてください。

傾きが不連続(導関数f'(x)が不連続)なのに滑らか(微分可能)ってのがどうもイメージできないので。

Aベストアンサー

oodaiko先生とだぶってしまったので補足します。
(私が書き始めたときは回答者数0だったもので・・・)

f '(x)=2x sin(1/x)-cos(1/x) がx=0で連続でないことを示します。
すなわち、
lim(x→0) f '(x) が存在しないことを示します。
「lim(x→0) f '(x) が存在するならば
0に収束する任意の数列An,Bnについて
lim(n→∞) f '(An)=lim(n→∞) f '(Bn)
が成り立つ。」
という定理があったことを思い出してください。
An=1/(2nπ)、Bn=1/(2nπ+π/2) としますと
lim(n→∞) f '(An)=lim(n→∞) {1/(nπ) sin(2nπ)-cos(2nπ)}
 =lim(n→∞) (-1)=-1
lim(n→∞) f '(Bn)
 =lim(n→∞) {2/(2nπ+π/2) sin(2nπ+π/2)-cos(2nπ+π/2)}
 =lim(n→∞) (2/(2nπ+π/2))=0
よって、lim(n→∞) f '(An)≠lim(n→∞) f '(Bn)
「 」の定理の対偶を考えると、
lim(x→0) f '(x) が存在しない
ことが分かりますね。

ところでoodaiko先生に質問したいのですが。

>lim_{x→0} ( 2x sin (1/x) - cos (1/x))
>= lim_{x→0} 2x sin (1/x) - lim_{x→0} cos (1/x)

の部分です。
lim(f(x)+g(x))=lim f(x)+lim g(x)
が成り立つのは
lim f(x)、lim g(x)がそれぞれ存在するとき
ですよね。でもlim_{x→0} cos (1/x) は存在しない・・・
実は私が読んでいた本でもoodaiko先生のように証明しているんです。
何か特殊な事情でもあって、この場合は例外的に
lim(f(x)+g(x))=lim f(x)+lim g(x)
が成り立っているのでしょうか。

oodaiko先生とだぶってしまったので補足します。
(私が書き始めたときは回答者数0だったもので・・・)

f '(x)=2x sin(1/x)-cos(1/x) がx=0で連続でないことを示します。
すなわち、
lim(x→0) f '(x) が存在しないことを示します。
「lim(x→0) f '(x) が存在するならば
0に収束する任意の数列An,Bnについて
lim(n→∞) f '(An)=lim(n→∞) f '(Bn)
が成り立つ。」
という定理があったことを思い出してください。
An=1/(2nπ)、Bn=1/(2nπ+π/2) としますと
lim(n→∞) f '(An)=lim(n→∞) {1/(nπ) sin(2nπ)-...続きを読む

Qマクスウェル模型、フォークトモデルの問題

課題の提出日が迫っているのでお願いします。
ソフトマターの問題で、マクスウェル模型とフォークとモデルについてです

1.マクスウェル模型は、粘弾性流体に関するもっとも簡単なモデルの一つであり、粘性を表すダッシュポットと弾性的なばねを直列に並べたものであるばねの力学応答はフックの法則(弾性率E)で与えられ、ダッシュポットは粘性率ηのニュートン流体で記述できるとすると、マクスウェル模型は、
dε/dt=1/E・dσ/dt+σ/η
と表される。クリープ・コンプライアンス測定では応力は一定であるが、この時の変形の時間依存性を求めて図示せよ。さらに、応力緩和測定では変形が一定であるが、この時の応力の時間依存性も求めて図示せよ。ここで、緩和時間τ₀=η/Eを導入し、これは定数と仮定してよい。
2.フォークトモデルはバネとダッシュポトを並列につなげたものである。1の問題と同様に、クリープ・コンプライアンス測定における変形と応力緩和測定における応力を求めよ。

Aベストアンサー

歪ε、応力σ、バネの弾性率E、ダッシュポットの粘性ηとし、
それぞれの歪と応力を添え字f、dで表すと。
バネの応力      σf =Eεf
ダッシュポットの応力 σd=ηdεd/dt

Maxwellモデル
合わせた変形εは ε=εf +εd 、応力σは σ=σf=σd
変形の式を時間tで微分すると
dε/dt=dεf/dt + dεd/dt
したがって
dε/dt=(dσf/dt)/E +σd/η = (dσ/dt)/E +σ/η   (1)

Voigtモデル
合わせた応力σは σ=σf +σd 、歪εは ε=εf=εd
したがって
σ= Eεf +ηdεd/dt = Eε+ηdε/dt         (2)

Maxwellモデル
a) 応力一定σ=σo、クリープ現象。
(1)式は dε/dt =σo/η
これを積分すれば、Cを積分定数として。
ε(t)=(σo/η) t+ C
εo=ε(0) = C で、σf =Eεf からσo=Eεoとなり
εo = σo /E
ε(t)= σo/E +(σo/η)t

バネの瞬間伸び+ダッシュポットの時間に比例した直線的な伸びの和。

b) 歪一定ε=εo、応力緩和現象。
(1)式は dσ/dt = -σE/η
dσ/σ = -dt/τ      τ=η/E
これを積分すれば、Cを積分定数として。
lnσ=-τt+ C
σ(t) = C’*exp(-t/τ)
σo= σ(0) = C’ より
σ(t) = σo*exp(-t/τ)

最初σoの応力が指数的に減少し、t=τ(緩和時間)後にはσo*1/eまで
減少する。

Voigtモデル
a)応力一定σ=σo、クリープ現象。
(2)式は  σo = Eε+ηdε/dt
この微分方程式の解は、積分定数をCとして
ε(t) = exp(-t/τ)((σo/η)∫exp(t/τ)dt + C)
= σo/E + C*exp(-t/τ)
t=0で歪は0であるから
0 = σo/E + C   つまり   C = -σo/E
ε(t) = σo/E (1 - exp(-t/τ))

最初0の歪は徐々に増加し、σo/Eで頭打ちになる。
b)歪一定ε=εo
(2)式は dε/dt = 0  より
σ(t)= Eεo
となり、バネだけの場合と同じになる(形式的には)。
(実際には、瞬時に変形を与えることはできない。σd=ηdε/dt→∞となる。)

歪ε、応力σ、バネの弾性率E、ダッシュポットの粘性ηとし、
それぞれの歪と応力を添え字f、dで表すと。
バネの応力      σf =Eεf
ダッシュポットの応力 σd=ηdεd/dt

Maxwellモデル
合わせた変形εは ε=εf +εd 、応力σは σ=σf=σd
変形の式を時間tで微分すると
dε/dt=dεf/dt + dεd/dt
したがって
dε/dt=(dσf/dt)/E +σd/η = (dσ/dt)/E +σ/η   (1)

Voigtモデル
合わせた応力σは σ=σf +σd 、歪εは ε=εf=εd
したがって
σ= Eεf +ηdεd/dt = Eε+ηdε/dt         (2)

Maxwellモデル
a) 応力一定...続きを読む

Qf(x)=x^2のリプシッツ連続

掲題の解釈は以下でいいですか。

範囲が1から2の時、
|f(1)-f(2)| <= K|1 - 2|
なる定数Kがある?

|f(1)-f(2)| = |1 - 4| = 3
|1 - 2| = 1
よって、「3 <= KなるKがある?」 それは3。よって連続関数

これは、その範囲で傾き3から-3の直線の範囲に、その曲線(の接線)が必ず収まっているという事と同じ意味
これは連続であることの十分条件


返答があるのは嬉しいのですが、質問者の理解程度を考慮しない高尚な解説はご遠慮下さい。

Aベストアンサー

「リプシッツ連続」の重要な条件をわすれています.

定義された区間内の,「あらゆるx, y」に対して
   |f(x) - f(y)| < K|x - y|
となる定数Kがある.

下記ウィキペディアの(定義は無視して)例が分かり易いと思います.
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%83%E3%83%84%E9%80%A3%E7%B6%9A

例えば,f(x)=√x (ルートx) は 区間[0,1]で通常の意味で連続ですが,
リプシッツ連続ではありません.

グラフを描くと分かり易いと思いますが,
x=0 に近づくとは傾きは∞になりますので,
    |f(0) - f(y)| < K|0 - y|
つまり,
    |f(0) - f(y)|/ |0 - y| < K
の式で,yをどんどん0に近い値に近づけると左辺がどんどん大きくなるので,
定数Kでは押さえられません.

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Q最小多項式の求めかたを教えてください

情報数学 代数数学 離散数学どれにあたるかわかりませんが、行列ではないとおもいます

教科書をよんでもわからないので

いくつか例をあげてやり方を教えてくれませんか?
お願いします

Aベストアンサー

最小(消去)多項式 ですよね。
最小多項式は、特性多項式の約数になるので、
特性多項式を因数分解して、
因数の積で ≡0 になる組み合せを探せばよいです。

Q一様連続でないの厳密な証明は?

微分積分の期末テストで次の問題が出ました。

次の命題の正誤を答えよ。ただし理由も与えること。

命題:関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で一様連続である。

この問題で自分は次のように解答しました。

(証)αを与えられた区間内の任意の要素とし、εを任意の整数とする。

あるδとしてmin.(ε/2|α|+1,1)とする。

このとき|x-α|<δ⇒|f(x)-f(α)|=|x^2-α^2|=|xーα|・|x+

α|<・・・・・(略)<δ(2|α|+1)<ε

となり、故にf(x)=x^2は区間[0,∞)で一様連続でない。(なぜなら、δがε

だけでなくαにも依存するから)

この解答で一応マルはもらえたのですが、はじめにδを上のようにしたものだけを考

えていい理由は何なんですかね?もしかしたらεだけでδを表せるかもしれないの

に。考えてはみてるんですがなかなか納得のいく答えが見つかりません。よかった

ら力になってください。よろいくお願いします。

Aベストアンサー

ikecchiさんご自身で疑問を感じるのは当然で、ikecchiさんの解答は実は
「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で連続である」
ことの証明にはなっていますが
「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で一様連続でない」
ことの証明にはなっていません。その理由はご自身で書かれている通り
「ある」δについてαに依存することを証明しても、「任意の」δがαに依存する
ことは証明されないからです


「一様連続でない」ということを証明するには何を示せば良いのでしょうか。
変数の任意性や依存関係が絡み合うこの種の問題(ε-δの応用問題は大体そうです)
を考える時は命題を論理式で書いておくと証明すべきことが見やすくなります。
まず「関数f(x)が区間[a,b)で連続である」を論理式で書くと
∀ε>0 ∀α∈[a,b) ∃δ>0  ∀x(|x - α| < δ ⇒ |f(x) - f(α)| < ε)
でしたね。つまりこの場合δはεとαの両方に依存しても構わない。
一方「関数f(x)が区間[a,b)で一様連続である」を論理式で書くと
∀ε>0 ∃δ>0 ∀α∈[a,b) ∀x(|x - α| < δ ⇒ |f(x) - f(α)| < ε)……(1)
となります。変数δとαに関する記述の位置が入れ替わっていることに注意して下さい。
この場合δはεだけに依存します。
そして「関数f(x)が区間[a,b)で一様連続でない」という命題はこれの否定命題ですから
∃ε>0 ∀δ>0 ∃α∈[a,b) ∃x(|x - α| < δ かつ |f(x) - f(α)| ≧ ε)……(2)
となります。(論理式の変形規則についてはご存知でしょうね)

つまり「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で一様連続でない」
ことを証明するためには,具体的なεと任意のδをとってきてそのε,δの組に
対して(2)式の括弧内の条件を満たすようなα,xがとれることを示せば良いのです。
これを示しましょう。

ε=1/2とし,任意のδを1つ固定し, α≧ 1/(2δ) とします。
x= α+(δ/2) とするとxは(1)式の前提条件
|x - α| < δ を満たします。しかし
|f(x) - f(α)|= |x^2 - α^2| = | (α+(δ/2))^2 - α^2 |= | αδ + δ^2/4 |≧ 1/2 =ε
ですから一様連続でないことがいえました。          ■

証明が間違っているにも関わらず先生が○をくれた理由は推測するしかありませんが
(1)一応「一様連続でない」という結論はあっているので、
証明も正しいものと勘違いした
(2)実は先生もわかってない(まさかね^^;)
(3)一応「一様連続でない」という結論はあっていることと
証明を読んで(間違いではあるものの)一様連続性についても
一応は理解しているものと判断して○にした。

というところが考えられますが本当のところ先生に聞いてみた方が良いでしょうね。

ikecchiさんご自身で疑問を感じるのは当然で、ikecchiさんの解答は実は
「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で連続である」
ことの証明にはなっていますが
「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で一様連続でない」
ことの証明にはなっていません。その理由はご自身で書かれている通り
「ある」δについてαに依存することを証明しても、「任意の」δがαに依存する
ことは証明されないからです


「一様連続でない」ということを証明するには何を示せば良いのでしょうか。
変数の任意性や依存関係が絡み合うこの種の...続きを読む

Qe^(-x^2)の積分

e^(-x^2)の積分はどうやったらよいのでしょうか?
どなたか分かる方、よろしくお願いします。

eは自然対数の底でe^(-x^2)=exp{-x^2}

Aベストアンサー

ガウス分布に使いますね。
やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形
と正方形に接する半径aの(1/4)円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe^-x^2 をx方向に積分すると、
∫[0→a]e^-x^2dx
正方形の領域だからe^-y^2 をy方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e^-x^2dx=∫[0→a]e^-y^2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
={∫[0→a]e^-x^2dx}^2
という関係が出ますね。
だから、e^-(x^2)を積分する代わりにe^-(x^2+y^2)を積分してその√を取れば解が得られるという論法を利用するんですね。
四角形の領域で
I=∫[x,y:0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
を積分するにはちょっとなんで、四角形に接する大小の円で挟み撃ちを考えるんですね。
半径aの(1/4)円では、
極座標変換して、(x^2+y^2)=r^2, dxdy=rdrdθ
=∫[0→a]e^-(r^2)dr∫[0→π/2]dθ
=(1/2)(1-e^-a^2)(π/2)=(π/4)(1-e^-a^2)
同様に、半径√2aの(1/4)円では、
=(π/4){1-e^-(2a^2)}
だから、
x:0→a
√{(π/4)(1-e^-a^2)}<∫[0→a]e^-(x^2)dx
<√{(π/4){1-e^-(2a^2)}}
が回答ですね。これ以上は数値表を参照ですね。
a→∞ であれば、
∫[0→∞]e^-(x^2)dx=(√π)/2
が回答になりますね。
広域積分でも検索すれば参考になるかも。

ガウス分布に使いますね。
やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形
と正方形に接する半径aの(1/4)円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe^-x^2 をx方向に積分すると、
∫[0→a]e^-x^2dx
正方形の領域だからe^-y^2 をy方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e^-x^2dx=∫[0→a]e^-y^2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
={∫[0→a]e^-x^2dx}^2
という関係が出ますね。
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