解けませんこの微分方程式

いつもお世話になっています。
独学でなんとか線形微分方程式や同次型まで理解しています。今

y'+(1/x)y+y^2-1/x^2＝0

という方程式を解こうとしています。特殊解はとりあえず1/xが見つかりました。問題は一般解を求めるのですが、試しに最終的に求めたい
線形結合の解yをy＝k+1/xとおいて（kが一般解です）代入し、
kとxの微分方程式を作りました。
果たしてここまであっているのかわからないのですが、ここから手が止まっています。また変数変換したりするのでしょうか。
わかる方詳しく教えていただけないでしょうか。お願いします。

※添付画像が削除されました。

No.2 ベストアンサー 回答者： Knotopolog 回答日時： 2009/07/03 14:30

＃１さんの正しい置換を借りて，一般解を求めてみます．

与えられた微分方程式は，一階の非線形常微分方程式です．

y'＋(1/x)y＋y^2－1/x^2＝0

u を　x　の関数として，

y＝u/x

とおきます．y＝u/x　の両辺を　x　で微分すると

y'＝(xu'－u)/x^2

です．y'＝(xu'－u)/x^2　と　y＝u/x　を元の微分方程式に入れて，
計算・整理すると，

(xu'－u)/x^2＋(1/x)(u/x)＋(u/x)^2－1/x^2＝0

u'/x－(u/x^2)＋(u/x^2)＋(u/x)^2－1/x^2＝0

u'/x＋(u/x)^2－1/x^2＝0

u'＋(u^2/x)－1/x＝0

u'＝－(u^2/x)＋1/x

u'＝(1－u^2)/x

du/dx＝(1－u^2)/x

と，＃１さんの言われた通りになります．これを積分すると，

du/(1－u^2)＝1/x dx

∫du/(1－u^2)＝∫1/x dx ＋C　　　　　　（C は積分定数）

(1/2)log|(1＋u)/(1－u)|＝log(x) ＋C

[(1＋u)/(1－u)]^(1/2)＝Cx

ここで，u＝xy　をこの式に適用すると，

[(1＋xy)/(1－xy)]^(1/2)＝Cx

となります．これが一般解です．

この式：[(1＋xy)/(1－xy)]^(1/2)＝Cx　が元の式を満たすかを計算してみます．
この両辺を　x　で微分すると，

(1/2)[{(1＋xy)'(1－xy)－(1＋xy)(1－xy)'}/(1－xy)^2]*[(1＋xy)/(1－xy)]^(－1/2)＝C

(1/2)[{(y＋xy')(1－xy)－(1＋xy)(－(y＋xy'))}/(1－xy)^2]*[(1＋xy)/(1－xy)]^(－1/2)＝C

(1/2)[{(y＋xy')(1－xy)＋(1＋xy)(y＋xy')}/(1－xy)^2]*[(1＋xy)/(1－xy)]^(－1/2)＝C

(1/2)[(y＋xy'){(1－xy)＋(1＋xy)}/(1－xy)^2]*[(1＋xy)/(1－xy)]^(－1/2)＝C

(1/2){2}[(y＋xy')/(1－xy)^2]*[(1＋xy)/(1－xy)]^(－1/2)＝C

[(y＋xy')/(1－xy)^2]*[(1＋xy)/(1－xy)]^(－1/2)＝C

となります．一方，一般解は，

(1/x)[(1＋xy)/(1－xy)]^(1/2)＝C

なので，これらの２式を用いて　C　を消去すると，

[(y＋xy')/(1－xy)^2]*[(1＋xy)/(1－xy)]^(－1/2)＝(1/x)[(1＋xy)/(1－xy)]^(1/2)

と書けます．更に，計算すると，

(y＋xy')/(1－xy)^2＝(1/x)[(1＋xy)/(1－xy)]

(y＋xy')/(1－xy)＝(1/x)(1＋xy)

y＋xy'＝(1/x)(1＋xy)(1－xy)

y＋xy'＝(1/x)(1－(xy)^2)

y＋xy'＝(1/x)－(1/x)(xy)^2

y＋xy'＝(1/x)－xy^2

ここで，両辺に　(1/x)　を乗ずると

(1/x)y＋y'＝(1/x^2)－y^2

(1/x)y＋y'＝(1/x^2)－y^2

これを移項すれば，

(1/x)y＋y'－(1/x^2)＋y^2＝0

となり，与えられた微分方程式になります．よって，一般解

[(1＋xy)/(1－xy)]^(1/2)＝Cx

は，与えられた微分方程式を満たすことが確かめられました．

この回答へのお礼

御丁寧にありがとうございました。

お礼日時：2009/07/03 19:51

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2009/07/03 11:18

y=u/xとすると元の方程式は

u'=(1-u^2)/x
変数分離ができて一般解が求められる。QED